2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Положительно-определенные матрицы
Сообщение03.07.2018, 00:45 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Рассмотрим матрицу вида $X = A^{T} A$. Она положительно-определенная.
Все ли положительно-определенные матрицы исчерпываются таким видом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительно-определенные матрицы
Сообщение03.07.2018, 02:53 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(О терминологии)

«Положительно определённая», без дефиса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительно-определенные матрицы
Сообщение03.07.2018, 04:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Посмотрите третий пункт в этом перечислении.

-- Вт июл 03, 2018 07:22:12 --

Этому можно придать инвариантный вид, но без скалярного произведения никак, потому что если $A\colon V\to W$, то $A^t\colon W^*\to V^*$, и для их композиции требуется некое линейное отображение $W\to W^*$. Если взять порождаемое скалярным произведением на $W$ отображение опускания индекса $\flat$, всё сойдётся: $$(A^t\; \flat\;  A)_{ij} \equiv X_{ij} = A^k{}_i\; g_{k \ell}\; A^\ell{}_j.$$Симметричность и, далее, положительная определённость $g$ влекут то же для $X$ независимо от свойств $A$ — это прозрачно в индексной записи. Интересующее же вас утверждение — то, что для любых $X$ и $g$ найдётся $A$, чтобы выполнялось равенство — вы можете показать по аналогии с изложенным по ссылке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительно-определенные матрицы
Сообщение03.07.2018, 05:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не, я наврал про «независимо от свойств $A$», конечно — $A$ не должен иметь нетривиального ядра. А наврал потому что перепутал в голове строгое неравенство для ненулевых векторов с нестрогим для всех.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительно-определенные матрицы
Сообщение03.07.2018, 06:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
DLL в сообщении #1324073 писал(а):
Все ли положительно-определенные матрицы исчерпываются таким видом?

Все неотрицательные (и к тому же симметричные, раз случай вещественный). Но такое их представление, разумеется, отнюдь не единственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительно-определенные матрицы
Сообщение03.07.2018, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10215
Москва
Обычное определение положительной определённости предполагает эрмитовость. И тогда всегда такое представление есть. Иногда рассматривают обобщение $x^TMx>0$ безотносительно к симметричности M, тогда не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительно-определенные матрицы
Сообщение03.07.2018, 22:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Евгений Машеров в сообщении #1324179 писал(а):
Обычное определение положительной определённости предполагает эрмитовость.

Эрмитовость -- не предполагает. Т.к. в комплексном случае эрмитовость следует из знакоопределённости (и, следовательно, вещественности) квадратичной формы. А вот в вещественных пространствах симметричность матрицы приходится требовать дополнительно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nimepe


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group