Упражнение по кванторам

[Pennywise]

Здравствуйте. Проверьте, пожалуйста, правильно ли я выполнил данное упражнение.

Задание взято из книги Velleman ''How to Prove It''.

Проанализируйте логическую форму следующего высказывания. Универсальным множеством (universe of discourse) является $\mathbb{R}$. Укажите свободные переменные.

Высказывание. Если существует число $x$, такое что $x^2+5x=w$, и существует число $y$, такое что $4-y^2=w$, то $w$ заключено между $-10$ и $10$.

Моё решение.

$\forall w [(\exists x(x^2+5x=w) \wedge \exists y(4-y^2=w)) \rightarrow (-10 \leq w \leq10)]$. Свободных переменных нет.

[arseniiv]

Выглядят правильно и формула, и слова про свободные переменные.

(UPD. Ну если только знаки неравенства могут быть и строгими?)

[gefest_md]

Обратите внимание на это

Pennywise в сообщении #1323974 писал(а):

$-10 \leq w \leq10$

Делаете обратный перевод для проверки.

[Pennywise]

arseniiv, gefest_md, спасибо.

Насчёт строгости знаков неравенства я не знаю, если честно. Мне казалось, что если текст можно трактовать двояко, то выбор всегда ложится в пользу строгих неравенств. В учебнике: "...then $w$ is between $-10$ and $10$". Переводом с русского на английский проверить, к сожалению, не могу, английский у меня хороший только в одну сторону. Впрочем, здесь это не столь важно, для меня важным был момент с квантором всеобщности. Есть страничка с решениями упражнений из этого учебника, там этого квантора всеобщности не было и $w$ указана как свободная переменная. Автор решений довольно часто ошибается (впрочем, там в основном совсем мелкие косяки), но я подумал, что мало ли, вдруг здесь какой-то подвох.

[gefest_md]

Pennywise, я имел в виду переводить предложение для проверки с символьного языка на русский. Ради логического анализа высказывания можно переписать двойное неравенство в виде конъюнкции «А и В».

Формулу писать даже не обязательно. В высказываниях на естественном языке тоже бывают кванторы и свободные переменные. «Для всех» и «$\forall$» одно и то же. В этом примере одна только переменная $w$ свободна.

[george66]

Квантор всеобщности спереди не нужен, в исходной фразе нет слов "для всех $w$". Переменная $w$ свободная. Содержательно, это может быть какое-то конкретное число, обозначенное $w$

[arseniiv]

Ой я снова безглазый, увидел $\forall w$ где его нет.

[Pennywise]

george66, понятно, спасибо.

[ewert]

george66 в сообщении #1324090 писал(а):

Квантор всеобщности спереди не нужен, в исходной фразе нет слов "для всех $w$". Переменная $w$ свободная.

И именно потому, что про неё ничего не сказано -- подразумевается, что она любая. Т.е. подразумевается квантор.

Другое дело, что сама формулировка выглядит достаточно коряво.

[Pennywise]

ewert в сообщении #1324369 писал(а):

И именно потому, что про неё ничего не сказано -- подразумевается, что она любая. Т.е. подразумевается квантор.

Да-да, вот именно это и смущает. Я в силу небольших знаний не могу знать, то ли это какая-то тонкость, то ли корявая формулировка, то ли есть какое-то соглашение.

ewert в сообщении #1324369 писал(а):

Другое дело, что сама формулировка выглядит достаточно коряво.

Тогда на всякий случай приведу задание в оригинале.

Analyze the logical forms of the following statement. The universe of discourse is $\mathbb{R}$. What are the free variables in each statement?

If there is a number $x$ such that $x^2+5x=w$ and there is a number $y$ such that $4-y^2=w$, then $w$ is between $-10$ and $10$.