О связности на римановом многообразии

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1313788 писал(а):

Может, этот факт очевиден, а я просто не вижу ?

Любое векторное расслоение над многообразием, диффеоморфным интервалу, (и вообще над любым стягиваемым многообразием) тривиально, т. е. диффеоморфно указанному произведению (Следствие 1.2 в Главе 4). В частности, оно всегда ориентируемо.

[Evgenii2012]

Большое спасибо, g______d, вполне убедительно и доступно, вопросов пока больше нет (всё остальное элементарно, как я и говорил ранее)

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1313793 писал(а):

Большое спасибо, g______d, вполне убедительно и доступно, вопросов пока больше нет (всё остальное элементарно, как я и говорил ранее)

Рад был помочь.

Посмотрите ещё теорему 3.1 из главы 8 Хирша (при $k=1$). Из неё следует, что с точки зрения разбиения/неразбиения вообще неважно, как именно вкладывать кривую в многообразие (например, можно считать, что кривая лежит в одной карте и представляет собой отрезок в этих координатах).

На тему исходной задачи есть ещё Лемма 2.6 главы 5, которая, по-моему, делает исходный вопрос про 4 точки абсолютно тривиальным, потому что их можно загнать в диск и дальше искать пути в диске.

Но, конечно, обе эти теоремы для доказательства, по-видимому, требуют техники трубчатых окрестностей.

[Evgenii2012]

g______d, добрый день, разрешите мне посоветоваться с Вами по поводу ещё двух важных вопросов: 1) будет ли простая гладка кривая на многообразии его подмногообразием, как обосновать ? Может, подскажете ссылку ? (Я пробовал по определению - как-то не очень видно); 2) Вы рекомендовали мне в одном из своих последних сообщений теорему 3.1 гл. 8 из книги Хирша "Дифференциальная топология". Правильно ли я понимаю, что из этой этой теоремы следует возможность отобразить всё многообразие ${\Bbb M}^n$ в себя так, что данная кривая $\gamma\subset {\Bbb M}^n$ при этом отображении переходит в кривую $\alpha\subset U,$ где $U$ -- некоторая нормальная окрестность в ${\Bbb M}^n,$ а в качестве $\alpha$ можно выступает кривая, являющаяся отрезком в этих же координатах ? 3) Правильно ли я понимаю, что для установления пункта 2) необходима также теорема 1.3 той же главы - иначе у нас не будет отображения всего многообразия в себя ? Заранее благодарен за Ваше мнение !

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1323789 писал(а):

1) будет ли простая гладка кривая на многообразии его подмногообразием, как обосновать ? Может, подскажете ссылку ?

Теорема 3.1 главы 1 из Хирша.

Evgenii2012 в сообщении #1323789 писал(а):

2) Вы рекомендовали мне в одном из своих последних сообщений теорему 3.1 гл. 8 из книги Хирша "Дифференциальная топология". Правильно ли я понимаю, что из этой этой теоремы следует возможность отобразить всё многообразие ${\Bbb M}^n$ в себя так, что данная кривая $\gamma\subset {\Bbb M}^n$ при этом отображении переходит в кривую $\alpha\subset U,$ где $U$ -- некоторая нормальная окрестность в ${\Bbb M}^n,$ а в качестве $\alpha$ можно выступает кривая, являющаяся отрезком в этих же координатах ?

Да, если я правильно понял вопрос.

Evgenii2012 в сообщении #1323789 писал(а):

3) Правильно ли я понимаю, что для установления пункта 2) необходима также теорема 1.3 той же главы - иначе у нас не будет отображения всего многообразия в себя ?

Отображение всего многообразия в себя в любом случае будет, смотрите определение изотопии.

По поводу остального -- посмотрите сначала лемму 2.6 главы 5. Из неё сразу следует Ваш исходный вопрос намного проще.

[Evgenii2012]

Уважаемый g______d, большое спасибо Вам за столь оперативный ответ. Разумеется, я уже давно посмотрел ту лемму (ещё раз, большое спасибо). Просто у меня возник на эту тему новый, ещё более важный вопрос. Предположим, что у нас $a, c\in D$ и $b, d\in \partial D$ -- четыре различные точки риманового многообразия, две из которых -- граничные для данной области. Пусть $D$ локально связна на $\partial D,$ т.е., для каждой точки границы $x_0\in\partial D$ и каждой её окрестности $U$ найдётся окрестность $V$ точки $x_0, $ $V\subset U,$ так что $V\cap D$ -- связно. ВОПРОС. Можно ли соединить точки $a$ и $b,$ $c$ и $d,$ непересекающимися кривыми $\alpha:[0, 1]\rightarrow\overline{D}$ и $\beta:[0, 1]\rightarrow\overline{D}$ так, что $\alpha(0)=a,$ $\alpha(1)=b,$ $\beta(0)=c,$ $\beta(1)=d,$ при этом, $\alpha(t)\in D$ и $\beta(t)\in D$ при $t\in [0, 1)$ ?

Для евклидова пространства я когда-то уже разобрал этот вопрос и пытаюсь сделать это для многообразий. Мне кажется, что ответ -- да, однако, лемма 2.6 гл. 5 тут не поможет. Может быть, Вы подскажете, как это можно решить ? Пока что теорема 3.1 гл. 8 -- единственная зацепка (правда, я ещё не до конца разобрался -- никогда не работал с гомотопиями). Заранее благодарен за Ваше мнение !

-- 01.07.2018, 18:25 --

Я также не очень понял, почему у нас будет отображение всего многообразия в себя, см. мой вопрос 3): ведь мы хотим применить соответствующее утверждение (теорема 3.1 гл. 8) ни ко всему многообразию, а к одномерному отрезку -- или я ошибаюсь ? Буду Вам благодарен, если Вы поможете мне разобраться с этой теоремой, не совсем ясно, как мы её применяем

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1323789 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для установления пункта 2) необходима также теорема 1.3 той же главы - иначе у нас не будет отображения всего многообразия в себя ?

Да, я был неправ. Я перепутал изотопию и диффеотопию. Согласен, теорема 1.3 нужна.

[Evgenii2012]

Большое спасибо, g______d, ещё раз. И ещё такой нюанс: в определении изотопии на стр. 231 у Хирша не написано, что соответствующее семейство отображений $F_t$ непрерывно по параметру $t,$ но, наверное, это подразумевается -- иначе каков смысл этих отображений, если мы их можем набрать какими угодно, как Вы полагаете ?

[Someone]

Evgenii2012 в сообщении #1323824 писал(а):

у Хирша не написано, что соответствующее семейство отображений $F_t$ непрерывно по параметру $t,$ но, наверное, это подразумевается

Скорее всего, подразумевается, что эта штука непрерывна как функция двух переменных.