Как максимизировать минимум радиуса кривизны кривой?

[Dmitriy40]

Согласен с worm2 в плане решения с двумя дугами окружностей и с его "доказательством" его оптимальности (достаточно очевидно что кривизна любой кривой, попадающей внутрь окружности, где-то больше самой окружности, в полярной системе координат это вообще тривиально). Кстати мне кажется радиусы красной и синей окружности должны быть равны. Для двух окружностей задача разрешима аналитически (особенно если взять $h=1$ и пронормировать и $L$ и радиусы на $h$).
При $L<h$ можно поменять их местами и решить в исходной формулировке.
Любой эллипс имеет где-то большую кривизну чем две окружности одинакового радиуса.

Для случая отрицательного $L$ можно взять три дуги окружности: первая для разворота и сведения задачи к предыдущей, ещё две её решают. Первые две дуги кажется нужно объединять в одну. Правда не уверен что решение устойчиво относительно увеличения радиуса первой кривой, разве что запретить вынос труб влево за позицию $L$, но тогда не интересно, решением будет 3/4 окружности диаметром $L$ плюс вертикальный прямой участок. И тоже, добавление прямых участков позволяет увеличивать радиус до бесконечности.
Короче $L<0$ (и даже $L<h$) не интересно.

(Ж\д пути)

Someone в сообщении #1323601 писал(а):

но там речь шла о сопряжении двух прямолинейных участков железнодорожного пути. Это совсем другая задача.

Там требования другие, лишь отсутствие скачка кривизны (ну плюс вероятно кратчайшее расстояние), что прямо из формулы кривизны кривой разрешает использовать любую кривую не менее чем третьего порядка. Конкретный вид кривой задаётся другими параметрами: минимальной длины кривой (металл надо экономить) и постоянного увеличения кривизны (которая фактически ускорение), ну и простотой расчётов конечно.

PS. Артефакт решения с тремя дугами окружностей: 1-я дуга радиуса $R$ идёт от левого конца вправо-вниз до вертикали; вторая дуга радиуса $R$ идёт от правого конца вниз-вправо до горизонтали, потом они соединяются 3/4 окружности радиуса $R$. Кривизна везде одинакова и очевидно меньше исходного решения worm2 (для случая $L=h$ в $\sqrt2$ раз). Максимум радиуса ограничен отсутствием самопересечения.