Как максимизировать минимум радиуса кривизны кривой?

[ellipse]

Надо соединить гибкой трубой две трубы, расположенные перпендикулярно друг другу.



Как изогнуть гибкий отрезок трубы, чтобы минимум радиуса изгиба был как можно больше? Если $L=h$, то решение очевидно (хотя это тоже надо бы доказать). Как я понимаю, в общем случае эта задача близка к вариационному исчислению. Нужно найти решение следующей задачи.

\begin{align*} &f(0)=0, f'(0)=0,\\ &f(1)=a, f'(1)=+\infty,\\ &Af = \max_{x\in[0,1]}\frac{|f''(x)|}{\left(1+f'^2(x)\right)^{3/2}} \to \min. \end{align*}

Как решить эту задачу? Функционал $Af$ имеет производную?

[worm2]

Вангую, что тут будут две дуги касающихся друг друга окружностей одинакового радиуса.

[dsge]

Ставлю на четверть ника ТС.

[ellipse]

dsge в сообщении #1323544 писал(а):

Ставлю на четверть ника ТС.

Вряд ли. Рассмотрите случай, когда $L>>h$. В этом случае вариант, с дугами окружностей подходит лучше. Только сомневаюсь на счет одинакового радиуса, как говорит worm2.

[worm2]

Что-то меня осенило. Если допустить самопересечения, то тут можно сколь угодно большой радиус сделать
(И, соответственно, сколь угодно малую кривизну).
Хотя, может быть, в некоторых конфигурациях и самопересечения можно избежать. А значит нужно ещё найти правильную формулировку задачи.

-- Сб июн 30, 2018 18:12:54 --

Например, можно ещё явно задать длину гибкого шланга.

[ellipse]

worm2 в сообщении #1323551 писал(а):

А значит нужно ещё найти правильную формулировку задачи.

Предлагаю ограничение $x\in[0, 1]$.

[EXE]

Да просто дуга эллипса – полуоси уже есть.

[dsge]

ellipse в сообщении #1323545 писал(а):

Вряд ли. Рассмотрите случай, когда $L>>h$.

Да, правда. Или $h \to 0$. Вот если бы $L\approx h$...

(Оффтоп)

Искушение скаламбурить было сильнее, чем думать.

Минимизировать максимум всегда сложнее. А если оптимизировать интеграл от кривизны (или ее квадрата), типа среднюю кривизну? В теории мыльных пленок (минимальных поверхностей) задача, кажется, ставится именно так.

[worm2]

Попробую позащищать свою конструкцию (на каком-то уровне строгости, не самом высоком).

На примере частного случая h=0, L=1.
Моя траектория гибкой трубы (оптимальность которой я защищаю) — кусок красной окружности до касания и кусок синей окружности после касания.
Пусть есть какая-то оптимальная траектория гибкой трубы (совпадающая с моей или нет). Я на рисунке её не изобразил. Если какая-то оптимальная точка попадает внутрь красной четвертинки круга, то на участке от неё до начала координат обязательно будет точка с кривизной, превышающей кривизну красной окружности (это утверждение ещё нужно доказать, но мне кажется весьма правдоподобным), а значит, она будет хуже моей.
Аналогично с точкой, попадающей внутрь синей полуокружности.
Значит, оптимальная труба должна пройти через точку касания красной и синей полуокружности. Ну а дальше ей ничего не остаётся, как совпасть с моей.

-- Сб июн 30, 2018 19:11:58 --

dsge в сообщении #1323571 писал(а):

А если оптимизировать интеграл от кривизны (или ее квадрата), типа среднюю кривизну?

Где-то читал, что для данной задачи решением является сплайн, построенный из дуг клотоиды (подобно тому, как кубический сплайн минимизирует среднеквадратичное значение второй производной, клотоидальный сплайн минимизирует среднеквадратичное значение кривизны). Но сейчас найти не могу.

[Someone]

worm2 в сообщении #1323583 писал(а):

Где-то читал, что для данной задачи решением является сплайн, построенный из дуг клотоиды

Я тоже что-то такое встречал, но там речь шла о сопряжении двух прямолинейных участков железнодорожного пути. Это совсем другая задача. Если кривизна железнодорожного пути будет меняться скачками, как при переходе с одной окружности на другую, то в момент перехода вагон будет испытывать резкий удар.

[Geen]

Вообще говоря, начальные параметры могут быть и отрицательные...

worm2 в сообщении #1323551 писал(а):

Если допустить самопересечения, то тут можно сколь угодно большой радиус сделать

Не обязательно самопересечения (кажется) - можно просто "обогнуть" один из "концов".

-- 30.06.2018, 23:03 --

ellipse в сообщении #1323555 писал(а):

worm2 в сообщении #1323551 писал(а):

А значит нужно ещё найти правильную формулировку задачи.

Предлагаю ограничение $x\in[0, 1]$.

Ни на что не претендую, но я не понял...

[ellipse]

Geen в сообщении #1323686 писал(а):

ellipse в сообщении #1323555 писал(а):

Предлагаю ограничение $x\in[0, 1]$.

Ни на что не претендую, но я не понял...

Это условие в контексте формулировки задачи из первого сообщения. Иначе говоря, кривая находится в вертикальной полосе ширины $L$.

[Geen]

ellipse в сообщении #1323702 писал(а):

Geen в сообщении #1323686 писал(а):

ellipse в сообщении #1323555 писал(а):

Предлагаю ограничение $x\in[0, 1]$.

Ни на что не претендую, но я не понял...

Это условие в контексте формулировки задачи из первого сообщения. Иначе говоря, кривая находится в вертикальной полосе ширины $L$.

А если $L$ отрицательно?

[worm2]

Если $L$ отрицательно, то придумать содержательную формулировку довольно трудно.
Хотя можно, например, задать желаемую длину гибкой трубы, как я уже писал. Но это будет введение дополнительного параметра, чего не хотелось бы.

[Geen]

worm2 в сообщении #1323743 писал(а):

придумать содержательную формулировку довольно трудно.

Можно потребовать непрерывности решения по $L$ и $h$ начиная с четвертьокружности при $L=h$...

-- 01.07.2018, 10:43 --

worm2 в сообщении #1323583 писал(а):

Если какая-то оптимальная точка попадает внутрь красной четвертинки круга, то на участке от неё до начала координат обязательно будет точка с кривизной, превышающей кривизну красной окружности (это утверждение ещё нужно доказать, но мне кажется весьма правдоподобным)

Если оптимальная траектория до этой точки целиком лежит в красном круге.