Критерий Лебега, достаточность, Зорич

[jdex]

Приветствую всех!

Потерял нить в доказательстве достаточности критерия Лебега.
Цитирую сам критерий:

Цитата:

$f\in\mathcal{R}(I)\Leftrightarrow$ ($f$ ограничена на $I$) $\wedge$ ($f$ непрерывна почти всюду на $I$)

Теперь достаточность:

Цитата:

Пусть $\varepsilon$ — произвольное положительное число, а $E_\varepsilon=\left\lbrace x\in I| \omega(f;x)\geqslant\varepsilon\right\rbrace$. По условию $E_\varepsilon$ есть множество меры нуль.
Кроме того, $E_\varepsilon$, очевидно, замкнуто в $I$, поэтому $E_\varepsilon$ — компакт. По лемме 3 существует такая конечная система $I_1,\dots,I_k$ промежутков в $\mathbb{R}^n$, что $E_\varepsilon\subset\bigcup\limits_{i=1}^{k}I_i$ и $\sum\limits_{i=1}^{k}|I_i|<\varepsilon$. Положим $C_1=\bigcup\limits_{i=1}^{k}I_i$, а через $C_2$ и $C_3$ обозначим объединение промежутков, полученных из промежутков $I_i$ гомотетией с центром в центре $I_i$ и коэффициентом 2 и 3 соответственно. Ясно, что $E_\varepsilon$ лежит строго внутри $C_2$ и что расстояние $d$ между границами множеств $C_2$ и $C_3$ положительно.
Отметим, что сумма объемов любой конечной системы промежутков, которые лежат в $C_3$ и попарно не имеют общих внутренних точек, не больше чем $3^n\varepsilon$, где $n$ — размерность пространства $\mathbb{R}^n$. Это следует из определения множества $C_3$ и свойства меры промежутка (лемма 1).
Отметим также, что любое подмножество промежутка $I$, диаметр которого меньше $d$, либо содержится в множестве $C_3$, либо лежит в компакте $K = I \setminus (C_2\setminus\partial C_2)$, где $\partial C_2$ — граница $C_2$ (и, следовательно, $C_2 \setminus \partial C_2$ — совокупность внутренних точек множества $C_2$)

Вот на этом месте у меня возникли непонятки. По построению, насколько я понимаю, исходя из определения гомотетии, промежутки $C_2$ лежат внутри промежутков $C_3$ и у меня выходит, что у множеств $C_3$ и $K$ есть общие точки, а по изложению такого нету, т.к.

Цитата:

любое подмножество промежутка $I$, диаметр которого меньше $d$, либо содержится в множестве $C_3$, либо лежит в компакте $K = I \setminus (C_2\setminus\partial C_2)$

Также под $d$, если правильно понимаю, имеется в виду НЕ расстояние между множествами $C_2$ и $C_3$, т.к., если $C_2 \subset C_3$, то расстояние между ними по определению равно нулю.

Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь!

[grizzly]

jdex в сообщении #1323118 писал(а):

Также под $d$, если правильно понимаю, имеется в виду НЕ расстояние между множествами $C_2$ и $C_3$, т.к., если $C_2 \subset C_3$, то расстояние между ними по определению равно нулю.

Расстояние между границами множеств. Представьте себе картинку: два круга с разными радиусами и с одним центром. Тогда $d=R-r$.

Теперь у Вас есть множество, диаметр которого меньше $d$. Нарисуйте упомянутую выше картинку и проследите, как может располагаться это множество относительно кругов. (Можете для наглядности нарисовать ещё квадрат с центром в центре окружностей и стороной $3R$).

jdex в сообщении #1323118 писал(а):

По построению, насколько я понимаю, исходя из определения гомотетии, промежутки $C_2$ лежат внутри промежутков $C_3$ и у меня выходит, что у множеств $C_3$ и $K$ есть общие точки, а по изложению такого нету, т.к.

Да, $C_2\subset C_3$ и у множеств $C_3$ и $K$ есть общие точки.

[jdex]

grizzly в сообщении #1323134 писал(а):

Расстояние между границами множеств. Представьте себе картинку: два круга с разными радиусами и с одним центром. Тогда $d=R-r$.

Теперь у Вас есть множество, диаметр которого меньше $d$. Нарисуйте упомянутую выше картинку и проследите, как может располагаться это множество относительно кругов. (Можете для наглядности нарисовать ещё квадрат с центром в центре окружностей и стороной $3R$).

Спасибо Вам за ответ, но у меня не получается. Вот как я вижу какой-то $i-$й набор промежутков (прошу прощения за убогое качество).



Светло-зеленым выделено часть компакта $K$. Синим - какое-то подмножество промежутка $I$, диаметр которого меньше $d$, и которое принадлежит $C_3$ и $K$. Скажите, что я не так представляю?

[grizzly]

jdex в сообщении #1323162 писал(а):

Скажите, что я не так представляю?

Я понял, в чём затруднение. Вы читаете "лежит или тут или там" с исключающим или. А я думаю, что там обычное "или" (может там, можут тут, а может и тут и там -- главное, что не может быть кусок "тут -- кусок там"). Попытайтесь так понять и посмотреть доказательство дальше.

-- 28.06.2018, 17:48 --

grizzly в сообщении #1323179 писал(а):

главное, что не может быть кусок "тут -- кусок там"

А если бы диаметр был больше $d$, тогда могла бы возникнуть такая ситуация -- как если бы синий кружок был раза в 3 больше.

[jdex]

grizzly в сообщении #1323179 писал(а):

Я понял, в чём затруднение. Вы читаете "лежит или тут или там" с исключающим или. А я думаю, что там обычное "или" (может там, можут тут, а может и тут и там -- главное, что не может быть кусок "тут -- кусок там"). Попытайтесь так понять и посмотреть доказательство дальше.

В тексте стоит "либо, либо", поэтому напрашивается исключающее "или". Но по тексту доказательства идет разделение интегральных сумм на две части: в первую часть входят все промежутки разбиения, которые содержатся в множестве $C_3$ (разбиения как раз берутся не большими, чем $d$), а во вторую — все остальные, которые обязательно лежат в $K$ (т.е. в том числе и те, у кого непустое пересечение с $C_3$). Т.е. $C_3\cap K$, как понимаю, — это своего рода "буферная зона" промежутков, которые лежат и в $K$ и в $C_3$.
В любом случае, спасибо за ответы.

grizzly в сообщении #1323179 писал(а):

А если бы диаметр был больше $d$, тогда могла бы возникнуть такая ситуация -- как если бы синий кружок был раза в 3 больше.

Здесь, если честно, не совсем понял Ваши идеи, к чему Вы ведете.

[grizzly]

jdex в сообщении #1323204 писал(а):

В тексте стоит "либо, либо", поэтому напрашивается исключающее "или".

Согласен с Вами, там использована не очень удачная конструкция. Но Вы дальше сказали правильно.

jdex в сообщении #1323204 писал(а):

как понимаю, — это своего рода "буферная зона" промежутков, которые лежат и в $K$ и в $C_3$.

Здесь промежутки не обязательно полностью лежат и в $K$ и в $C_3$ -- может быть частично в одном месте и полностью -- в другом. Это важно, я просто по Вашей фразе не увидел, точно ли Вы так поняли.

jdex в сообщении #1323204 писал(а):

Здесь, если честно, не совсем понял Ваши идеи, к чему Вы ведете.

Если предыдущее замечание понятно, просто забудьте.

[jdex]

grizzly в сообщении #1323210 писал(а):

Это важно, я просто по Вашей фразе не увидел, точно ли Вы так поняли.

Хм. Чтобы не заплутаться в обозначениях, проще показать на рисунке

Здесь случаи 1 и 2 принадлежат первой группе интегральных сумм, а 3 и 4 - второй. Вы это имели в виду?

[grizzly]

jdex в сообщении #1323223 писал(а):

Вы это имели в виду?

Да, конечно.