Приветствую всех!
Потерял нить в доказательстве достаточности критерия Лебега.
Цитирую сам критерий:
Цитата:

(

ограничена на

)

(

непрерывна почти всюду на

)
Теперь достаточность:
Цитата:
Пусть

— произвольное положительное число, а

. По условию

есть множество меры нуль.
Кроме того,

, очевидно, замкнуто в

, поэтому

— компакт. По лемме 3 существует такая конечная система

промежутков в

, что

и

. Положим

, а через

и

обозначим объединение промежутков, полученных из промежутков

гомотетией с центром в центре

и коэффициентом 2 и 3 соответственно. Ясно, что

лежит строго внутри

и что расстояние

между границами множеств

и

положительно.
Отметим, что сумма объемов любой конечной системы промежутков, которые лежат в

и попарно не имеют общих внутренних точек, не больше чем

, где

— размерность пространства

. Это следует из определения множества

и свойства меры промежутка (лемма 1).
Отметим также, что любое подмножество промежутка

, диаметр которого меньше

, либо содержится в множестве

, либо лежит в компакте

, где

— граница

(и, следовательно,

— совокупность внутренних точек множества

)
Вот на этом месте у меня возникли непонятки. По построению, насколько я понимаю, исходя из определения гомотетии, промежутки

лежат внутри промежутков

и у меня выходит, что у множеств

и

есть общие точки, а по изложению такого нету, т.к.
Цитата:
любое подмножество промежутка

, диаметр которого меньше

, либо содержится в множестве

, либо лежит в компакте

Также под

, если правильно понимаю, имеется в виду НЕ расстояние между множествами

и

, т.к., если

, то расстояние между ними по определению равно нулю.
Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь!