Устойчивость линейной системы

[pogulyat_vyshel]

Дана линейная система $\ddot x+\Gamma\dot x+Px=0,\quad x\in\mathbb{R}^{2m}$
Квадратные матрицы $\Gamma,P$ постоянны и $\Gamma^T=-\Gamma,\quad P^T=P,\quad \det \Gamma\ne 0.$

(Это лагранжева система с лагранжианом $L=\frac{1}{2}\dot x^T\dot x+\frac{1}{2}\dot x^T\Gamma x-\frac{1}{2}x^TPx.$)

Доказать, следующее утверждение.

Теорема (В. Козлов) Если матрица $P$ отрицательно определена и выполнено неравенство
$\|\Gamma^{-1}\|\cdot\|(-P)^{1/2}\|<\frac{1}{2}$ то система устойчива.

$(\|A\|=\max\limits_{\|x\|_{\ell_2}=1}\|Ax\|_{\ell_2}.)$

[scwec]

В.В. Козлов "Общая теория вихрей", глава 1, $\S{9}$,Теорема 17 стр.100-101. Красивое доказательство.