Полупрямое произведение групп

[pmm]

Требуется определить, сколько элементов порядка 8 находится в группе $G=C_8\rtimes (C_2\times C_2)$ с нетривиальным центром.

Я рассуждал следующим образом
$C_2\times C_2$ - четверная группа Клейна, ее можно задать так:
$\left\langle a, b, c \mid a^2=b^2=c^2=e, ab=ba=c, ac=ca=b, bc=cb=a \right\rangle$
Тогда во вся группа $G$ может быть задана следующим образом:
$\left\langle g, a, b, c \mid g^8=a^2=b^2=c^2=e, ab=ba=c, ac=ca=b, bc=cb=a, aga^{-1}=g^{k}, bgb^{-1}=g^{m}, cgc^{-1}=g^{n} \right\rangle$
Соотношения вида $aga^{-1}=g^{k}$ здесь нужны для того, чтобы $C_8$ была нормальна в $G$, и значения $k, n, m$ предстоит выяснить.

$aga^{-1}=g^k$
$a^2ga^{-2} = g$
$a^2ga^{-2} = aaga^{-1}a^{-1} = ag^ka^{-1} = (aga^{-1})^k = g^{k^2}$
$g^{k^2} = g \Rightarrow k^2 - 1$ кратно порядку $g$ т. е 8. Отсюда 4 возможных значения $k$ - 1, 3, 5, 7. Единицу можно сразу отбросить, так как центр $G$ нетривиален. Для $n$ и $m$ рассуждения аналогичны.

Далее из соотношений $ab=ba=c, ac=ca=b, bc=cb=a$ можно показать, что
$g^{kn}=g^m$
$g^{km}=g^n$
$g^{mn}=g^k$
Отсюда следует, что $k=3, m=5, n=7$ (порядок в котором они принимают эти значения неважен, т.к. группы в каждом случае будут изоморфны).

Теперь посмотрим, какие элементы в $G$ имеют порядок 8. Во-первых - 4 элемента из группы $C_8$. Осталось рассмотреть элементы вида $ag^{q}, bg^{q}, cg^{q}$, где $q=1,...,7$. Легко видеть, что $(ag^{q})^2 = g^{4q}, (bg^{q})^2 = g^{6q}, (cg^{q})^2 = g^{8q}$ Следовательно, элементы вида $ag^{q}$ имеют порядок 2 или 4, $сg^{q}$ - только 2, а $bg^{q}$ - порядок 8 при $q = 1, 3, 5, 7$ и порядок 4 в остальных случаях.

Тем не менее ответ 8 элементов почему-то неверен, и я в упор не могу понять, почему. Буду рад, если кто-нибудь найдет ошибку в решении.

[pmm]

Поправка - центр группы тривиальный

[demolishka]

Вы эти задачи из книжки какой-то берете или проходите курс на платформе открытое образование (я его тоже недавно проходил)? Один в один задачи.

В этой задаче меня вот что смутило.

1. Когда говорим о полупрямом произведении обязательно нужно указывать действие не нормальной группы на нормальную. Тут этого нет поэтому группа $G$, как по мне, задана неоднозначно. Казалось бы, что условие на центр ее определяет, но
2. В группа $G$ состоит из $2^{5}$ элементов, т. е. является $p$-группой и поэтому ее центр нетривиален. Что же значит "с тривиальным центром" в этой задаче не совсем понятно.

Так что присоединяюсь к вопросу и дополняю своими.

Кстати, cам я эту задачу сдал (тупо угадал ответ ).

[pmm]

demolishka
Согласен, условие тривиальности центра как-то сразу сбивает с толку, у меня даже опечатка по Фрейду случилась . Можно проверить, что в той группе, что у меня получилась, элемент $g^4$ лежит в центре.
В решении пробовал угадать логику составившего, думал, что получилось, но нет.
Задача, действительно, с открытого образования.

[demolishka]

Попросили выложить свое решение.

Я рассуждал так. В $C_{2} \times C_{2}$ все элементы в восьмой степени дают единицу. В $C_{8}$ элементов порядка 8 ровно 4: $g^{1},g^{3},g^{5},g^{7}$, где $g$ - образующая. Рассмотрим какое-нибудь действие $C_{2}\times C_{2}$ на $C_{8}$ автоморфизмами. Пусть $\varphi$ - автоморфизм $C_{8}$ соответствующий элементу $(h_{1},h_{2}) \in C_{2}\times C_{2}$ и $f \in C_{8}$. Тогда, как нетрудно видеть, $\left( f,(h_{1},h_{2}) \right)^{8} = (f \varphi(f^{7}), (e,e) )$. Поэтому для того, чтобы элемент $(f,(h_{1},h_{2}))$ полупрямого произведения при возведении в восьмую степень давал единичный, нужно чтобы $\varphi(f^{7})=f^{-1}$ и, следовательно (т. к. $f^{7}=f^{-1}$), $\varphi(f)=f$. Заметим, что элементы $f$ равные $g^{2},g^{4},g^{6}$ не подходят, т. к. для них порядок получается меньше 8. А элементы $f$ равные $g,g^{3},g^{5},g^{7}$ подходят и равенство $\varphi(f)=f$ однозначно определяет автоморфизм $\varphi$: он обязан быть тождественным. Если мы хотим чего-то нетривиального, то тривиальный автоморфизм будет соответствовать только элементу $(h_{1},h_{2})=(e,e)$. В этом случае в полупрямом произведении будет ровно $4$ элемента порядка 8: $(g,(h_{1},h_{2}))$, $(g^{3},(h_{1},h_{2}))$, $(g^{5},(h_{1},h_{2}))$, $(g^{7},(h_{1},h_{2}))$. Такой ответ система принимает как верный.

Так что если "тривиальность центра" заменить на то, что в тождественный автоморфизм переходит только единичный элемент (=тривиальность ядра гомоморфизма $C_{2} \times C_{2} \to Aut(G)$ задающего действие), то задача становится корректной.

[pmm]

Я похожим образом рассуждал вначале. Однако в ответ 4 элемента как-то не мог поверить.
Большое спасибо!