2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по теории групп
Сообщение23.06.2018, 14:12 


20/06/18
10
Необходимо вычислить порядок группы, заданной следующим образом $\left\langle a, b \mid a^5b^2 = 1, abab = 1 \right\rangle$. В качестве подсказки указано, что группу можно представить в виде полупрямого произведения. Мне быстро удалось определить, что $a^5$ коммутирует со всеми элементами, после чего я решил, что это группа симметрий пятиугольника. Однако этот ответ оказался неверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории групп
Сообщение23.06.2018, 17:13 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Допустим, мы еще наложили условие, что группа абелева (т.е. порождающие удовлетворяют еще одному соотношению $ab=ba$). Какая группа получится ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории групп
Сообщение23.06.2018, 19:23 


20/06/18
10
vpb
vpb в сообщении #1322041 писал(а):
Допустим, мы еще наложили условие, что группа абелева (т.е. порождающие удовлетворяют еще одному соотношению $ab=ba$). Какая группа получится ?


Тогда получается

$a^3 = 1$

$b^2 = a$

$b^6 = 1$

Следовательно, группа - циклическая порядка 6?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории групп
Сообщение23.06.2018, 21:16 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
pmm в сообщении #1322085 писал(а):
Следовательно, группа - циклическая порядка 6

Да.
Вернемся к исходной группе. Из соотношений следует $bab=a^{-1}$ и $b^2=a^{-5}$. Как отсюда доказать, что циклическая подгруппа, порожденная $a$, нормальна ? Есть ли какие-то соображения, как оценить порядок элемента $a$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории групп
Сообщение23.06.2018, 22:49 


20/06/18
10
vpb
Подольше посидел над выкладками, получилось, порядок $a$ равен 15. Отсюда порядок всей группы - 30. Надеюсь, верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории групп
Сообщение24.06.2018, 00:19 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
pmm в сообщении #1322141 писал(а):
Подольше посидел над выкладками, получилось, порядок $a$ равен 15. Отсюда порядок всей группы - 30. Надеюсь, верно
Угу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории групп
Сообщение24.06.2018, 00:40 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Угу, угу. Ответ правильный. Тем не менее, хорошо бы написать аккуратное доказательство. Потому что выкладки где-то в черновике --- это одно, а прилагающиеся к ним рассуждения --- несколько другое. (Это не означает, что при каждом посещении форума от вас будут ожидать гладко написанного рассуждения, однако по крайней мере один раз такое "упражнение на чистописание" проделать рекомендуется. Ибо многие молодые люди не умеют излагать решение.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории групп
Сообщение25.06.2018, 17:45 


20/06/18
10
Докажем, что $a^5$ коммутирует с $b$:
$a^5b^2 = 1 \Rightarrow b^-1 = a^5b = ba^5$
Дальше определим порядок $a$
$abab = 1\Rightarrow bab = a^{-1}, aba = b^{-1}$
$ba = a^4b, ab = ba^4 \Rightarrow abba = ab^2a = ba^8b = a^5ba^3b = ba^3ba^5$ 
$\Rightarrow ab^2 = ba^3ba^4, b^2a = a^4ba^3b \Rightarrow b^2a^2b^2 = a^4ba^3b^2a^3ba^4$
Т.к. $b^2 = a^{-5}$, то
$a^{-8} = a^4baba^4$
$a^{-8} = a^7$
$a^{15} = 1$
Далее ясно, что $b^2 = a^{10}$, $b^6 = 1$
Четные степени $b$ содержатся в группе $\left\langle a \right\rangle$, следовательно, вся группа представляется в виде полупрямого произведения $\left\langle a \right\rangle$ и $\left\langle b^3 \right\rangle$ и имеет порядок 30.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теории групп
Сообщение27.06.2018, 00:40 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
pmm
Правильно. Позвольте, однако ж, показать, как можно по другому.

Имеем соотношения $a^5b^2=1$ и $abab=1$. Из первого следует $b^2=a^{-5}$, из второго $bab=a^{-1}$. Значит
$bab^{-1}=bab\cdot b^{-2}=a^{-1}a^5=a^4$. Поэтому $\langle a\rangle$ --- нормальная подгруппа.

Затем, сопряжение элементом $b$ переводит $a$ в $a^4$, значит $b^2$ переводит $a$ в $a^{4^2}=a^{16}$.
(По другому: $b^2ab^{-2}=b(bab^{-1})b^{-1}=ba^4b^{-1}=(bab^{-1})^4=a^{16}$).
Но $b^2=a^{-5}$, поэтому перестановочно с $a$. Значит, $a^{16}=a$, откуда $a^{15}=1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group