Задача по теории групп

[pmm]

Необходимо вычислить порядок группы, заданной следующим образом $\left\langle a, b \mid a^5b^2 = 1, abab = 1 \right\rangle$. В качестве подсказки указано, что группу можно представить в виде полупрямого произведения. Мне быстро удалось определить, что $a^5$ коммутирует со всеми элементами, после чего я решил, что это группа симметрий пятиугольника. Однако этот ответ оказался неверен.

[vpb]

Допустим, мы еще наложили условие, что группа абелева (т.е. порождающие удовлетворяют еще одному соотношению $ab=ba$). Какая группа получится ?

[pmm]

vpb

vpb в сообщении #1322041 писал(а):

Допустим, мы еще наложили условие, что группа абелева (т.е. порождающие удовлетворяют еще одному соотношению $ab=ba$). Какая группа получится ?

Тогда получается

$a^3 = 1$

$b^2 = a$

$b^6 = 1$

Следовательно, группа - циклическая порядка 6?

[vpb]

pmm в сообщении #1322085 писал(а):

Следовательно, группа - циклическая порядка 6

Да.
Вернемся к исходной группе. Из соотношений следует $bab=a^{-1}$ и $b^2=a^{-5}$. Как отсюда доказать, что циклическая подгруппа, порожденная $a$, нормальна ? Есть ли какие-то соображения, как оценить порядок элемента $a$?

[pmm]

vpb
Подольше посидел над выкладками, получилось, порядок $a$ равен 15. Отсюда порядок всей группы - 30. Надеюсь, верно.

[VAL]

pmm в сообщении #1322141 писал(а):

Подольше посидел над выкладками, получилось, порядок $a$ равен 15. Отсюда порядок всей группы - 30. Надеюсь, верно

Угу.

[vpb]

Угу, угу. Ответ правильный. Тем не менее, хорошо бы написать аккуратное доказательство. Потому что выкладки где-то в черновике --- это одно, а прилагающиеся к ним рассуждения --- несколько другое. (Это не означает, что при каждом посещении форума от вас будут ожидать гладко написанного рассуждения, однако по крайней мере один раз такое "упражнение на чистописание" проделать рекомендуется. Ибо многие молодые люди не умеют излагать решение.)

[pmm]

Докажем, что $a^5$ коммутирует с $b$:
$a^5b^2 = 1 \Rightarrow b^-1 = a^5b = ba^5$
Дальше определим порядок $a$
$abab = 1\Rightarrow bab = a^{-1}, aba = b^{-1}$
$ba = a^4b, ab = ba^4 \Rightarrow abba = ab^2a = ba^8b = a^5ba^3b = ba^3ba^5$ $\Rightarrow ab^2 = ba^3ba^4, b^2a = a^4ba^3b \Rightarrow b^2a^2b^2 = a^4ba^3b^2a^3ba^4$
Т.к. $b^2 = a^{-5}$, то
$a^{-8} = a^4baba^4$
$a^{-8} = a^7$
$a^{15} = 1$
Далее ясно, что $b^2 = a^{10}$, $b^6 = 1$
Четные степени $b$ содержатся в группе $\left\langle a \right\rangle$, следовательно, вся группа представляется в виде полупрямого произведения $\left\langle a \right\rangle$ и $\left\langle b^3 \right\rangle$ и имеет порядок 30.

[vpb]

pmm
Правильно. Позвольте, однако ж, показать, как можно по другому.

Имеем соотношения $a^5b^2=1$ и $abab=1$. Из первого следует $b^2=a^{-5}$, из второго $bab=a^{-1}$. Значит
$bab^{-1}=bab\cdot b^{-2}=a^{-1}a^5=a^4$. Поэтому $\langle a\rangle$ --- нормальная подгруппа.

Затем, сопряжение элементом $b$ переводит $a$ в $a^4$, значит $b^2$ переводит $a$ в $a^{4^2}=a^{16}$.
(По другому: $b^2ab^{-2}=b(bab^{-1})b^{-1}=ba^4b^{-1}=(bab^{-1})^4=a^{16}$).
Но $b^2=a^{-5}$, поэтому перестановочно с $a$. Значит, $a^{16}=a$, откуда $a^{15}=1$.