Сигнатура квадратичной формы

[ewert]

(Оффтоп)

PlotF в сообщении #1321872 писал(а):

Сам факт смещен, 21 век и универ, а ты считаешь в столбик или в уме.

Я только в порядке анекдота. У меня в курсе численных методов есть стандартная задачка: дана табличка значений функции, по которой надо найти приближённое значение интеграла и оценить погрешность стандартным правилом Рунге. Причём числа в табличке сгенерированы простыми с ориентацией на именно устный счёт. Так вот меня всегда умиляют студенты, которые вместо счёта устного (в смысле в столбик) усердно нажимают кнопочки на телефонах. Мне-то плевать -- пусть себе нажимают; просто это менее надёжно, чем в уме. И в 41-м веке так и останется. Потому что важен ведь не конечный результат, а траектория движения к нему -- насколько осмысленны промежуточные телодвижения.

[PlotF]

ewert

(Оффтоп)

Численные методы без программирования? Я на python накидал бы программку. На край, прям край край, в excel, не мой случай, не понимаю зачем люди пользуются для расчетов этой программой, есть же специализированный софт. Зачем считать руками, т.е нажимать кнопочки на калькуляторе, если вся суть в понимании алгоритма?
Это я к тому, что простейшие численные методы сам реализовывал на python, очень интересно реализовать алгоритм какой-нибудь вычислительной задачки вместо решения "других" задач.
В будущем меня ждут Численные методы, уже предвкушаю горение седалищ, моего и преподского. Был уже в этом семестре случай, мне брат сказал "осваивай latex", дал Львовского. Через месяц я удалил Word, препод офигел, что я умею чуть-чуть Latex и сдаю ему в pdf, а ему зачем то нужен был doc. Фраза "перепечатывай" вогнала меня в ступор. Естественно, я не перепечатывал.

[ewert]

(Оффтоп)

PlotF в сообщении #1322110 писал(а):

Зачем считать руками, т.е нажимать кнопочки на калькуляторе, если вся суть в понимании алгоритма?

Затем, что это одна из немногих задач, которые за разумное время можно решить на контрольной или на экзамене. Кроме того, понять алгоритм можно, только потрогав его пальчиками. Потом они, конечно, разные квадратурные формулы программируют; естественно, в Матлабе.

[Slav-27]

PlotF в сообщении #1321839 писал(а):

Почитал теорию, посмотрел примеры и заметил одну интересную вещь.
Что, если записать в "правильном" виде матрицу квадратичной формы, то приведя её к диагональному виду с единицами на диагонали можно будет увидеть удобные замены.

Ага.

PlotF в сообщении #1321839 писал(а):

Как я понял, это происходит из-за того, что Метод Лагранжа это скрытый Метод Гаусса.

Метод Гаусса раскладывает матрицу $A$ в произведение нижнетреугольной и верхнетреугольной (если $A$ вырождена, то сначала может понадобиться переставить ей строки). Можно ещё добиться, чтобы у этих 2 треугольных матриц все элементы на главной диагонали стали единицами или нулями, вынеся всё остальное в диагональную матрицу: получится разложение $A=LDU$.

Ваше наблюдение заключается в том, что если $A$ симметричная, то $x^TAx=(Ux)^TD(Ux)$, то есть $A=U^TDU$. Если $A$ невырождена, то это следует из симметричности и единственности $LDU$-разложения. Если $A$ вырождена, то, наверно, можно придумать пример, когда метод Гаусса не даёт нужной замены (впрочем, я не уверен).

Если требуется перестановка строк, то метод Гаусса не даёт нужной замены даже для невырожденных матриц; например рассмотрите форму $f(x,y)=xy$.