геометрия Лобачевского

[philurame]

никак не могу понять как решать такую задачу:
Дан идеальный выпуклый гиперболический шестиугольник; доказать, что общие перпендикуляры противоположных сторон пересекаются в одной точке.
помогите пожалуйста

[philurame]

уже разобрался. Можно использовать определения поляры, полюса и теорему Паскаля.

[пианист]

Формулировка звучит странно (может, потому, что я геометрию Лобачевского совсем не знаю :).
Ведь в пределе кривизны, стремящейся к нулю, мы должны получать обычную Эвклидову - а в обычной такое утверждение не имеет места :о

[Munin]

Некоторые объекты геометрии Лобачевского в таком пределе уходят в бесконечность.

"Идеальными" точками называются бесконечно удалённые точки: https://ru.wikipedia.org/wiki/Идеальная_точка
В евклидовой геометрии между такими точками нельзя натянуть многоугольника, а в геометрии Лобачевского - можно. В пределе $R\to\infty$ эти многоугольники уходят в бесконечность, и факты о них теряются.

[пианист]

Спасибо.
Да, интересная штука.

[arseniiv]

Есть ещё замощения идеальными многоугольниками, вообще шикарно.

[Munin]

В этом смысле, геометрии постоянной кривизны выстраиваются по некоторой лесенке:
- евклидова богаче и сложнее, чем сферическая ($\approx$ эллиптическая, встречается название "геометрия Римана");
- гиперболическая (Лобачевского) богаче и сложнее, чем евклидова,
хотя эти усложнения не принципиальны.

Даже глядя на Пятый постулат:
- в эллиптической и сферической геометрии есть только один тип прямой, проходящей через точку, не лежащую на данной прямой;
- в евклидовой - два типа прямых;
- в гиперболической - три типа прямых.

Ещё рекомендую посмотреть движения. Например, сохраняющие ориентацию:
- в эллиптической и сферической геометрии только один тип: повороты;
- в евклидовой - два: повороты и параллельные переносы;
- в гиперболической - три: повороты, переносы вдоль некоторой прямой (по её эквидистантам), и "повороты" вокруг некоторой идеальной точки (перпендикулярно пучку сходящихся в неё прямых).
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry#Isometries_of_the_hyperbolic_plane

Ну и тому подобное.