2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нечётное количество инволюций
Сообщение20.06.2018, 13:31 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Изображение

Цитата:
Задача 2.8. (i) Пусть $G$ есть конечная группа и $o(G)$ чётно. Верно ли, что количество элементов порядка $2$ в $G$ нечётно — содержит ли любая группа чётного порядка инволюцию? Смотри также теорему Коши (Теорема 6.2).


Согласно определению 2.19.iii, инволюция есть элемент с порядком $2$.

Мои мысли по поводу. Для начала определение: $g\in G$ есть общепринятая инволюция $\iff$ $g\cdot g=1$. $g$ есть общепринятая инволюция $\iff$ порядок $g$ равен $1$ или $2$ $\iff$ $g=g^{-1}$. $o(g)=1 \iff g=1$. Следовательно, количество инволюций нечётно $\iff$ количество общепринятых инволюций чётно.

Если $G$ коммутативна, то произведение общепринятых инволюций есть общепринятая инволюция, так как нахождение обратного элемента есть гомоморфизм и $(g\cdot h)^{-1} = g^{-1}\cdot h^{-1} = g\cdot h$. Следовательно, множество всех общепринятых инволюций есть подгруппа группы $G$, обозначим её $H$. Если $H$ содержит ненейтральный элемент $h$, тогда $\{1, h\}$ есть подгруппа группы $H$ и кардинальность $H$ чётна по теореме Лагранжа.

Обозначим количество общепринятых инволюций в $S_n$ как $a_n$. $a_0=1$, $a_1=1$, $a_n=a_{n-1} + (n-1)\cdot a_{n-2}$. Следовательно, $a_2=2$, $a_3=4$ и для всех $n\geq 2$ имеем $2\mid a_n$.

Дальше не знаю, что делать. Ещё меня смущает, что эта задача в начале учебника, до неё только теорема Лагранжа. Подразумевается, что я не должен использовать сложные инструменты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечётное количество инволюций
Сообщение20.06.2018, 13:58 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
beroal
1) cardinality по русски "мощность". Применительно к конечным множествам чаще употребляют слово "порядок". А когда речь идет о конечных группах, то слово "порядок" используется практически всегда.
2) Действительно, задача совершенно элементарная, и теорема Лагранжа тут тоже не нужна. Каждому элементу сопоставим его обратный. Т.е. рассмотрим на группе отображение по правилу $g\mapsto g^{-1}$. Это отображение, заметим, инволютивно. ... Понятен ли намек ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечётное количество инволюций
Сообщение20.06.2018, 14:18 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
vpb в сообщении #1321334 писал(а):
2) Действительно, задача совершенно элементарная, и теорема Лагранжа тут тоже не нужна. Каждому элементу сопоставим его обратный. Т.е. рассмотрим на группе отображение по правилу $g\mapsto g^{-1}$. Это отображение, заметим, инволютивно. ... Понятен ли намек ?

Мощность множества всех элементов, кроме общепринятых инволюций, чётна. Тогда понятно, спасибо.

vpb в сообщении #1321334 писал(а):
1) cardinality по русски "мощность".

Я знаю, но от чтения английского текста появляются кальки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group