2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нечётное количество инволюций
Сообщение20.06.2018, 13:31 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Изображение

Цитата:
Задача 2.8. (i) Пусть $G$ есть конечная группа и $o(G)$ чётно. Верно ли, что количество элементов порядка $2$ в $G$ нечётно — содержит ли любая группа чётного порядка инволюцию? Смотри также теорему Коши (Теорема 6.2).


Согласно определению 2.19.iii, инволюция есть элемент с порядком $2$.

Мои мысли по поводу. Для начала определение: $g\in G$ есть общепринятая инволюция $\iff$ $g\cdot g=1$. $g$ есть общепринятая инволюция $\iff$ порядок $g$ равен $1$ или $2$ $\iff$ $g=g^{-1}$. $o(g)=1 \iff g=1$. Следовательно, количество инволюций нечётно $\iff$ количество общепринятых инволюций чётно.

Если $G$ коммутативна, то произведение общепринятых инволюций есть общепринятая инволюция, так как нахождение обратного элемента есть гомоморфизм и $(g\cdot h)^{-1} = g^{-1}\cdot h^{-1} = g\cdot h$. Следовательно, множество всех общепринятых инволюций есть подгруппа группы $G$, обозначим её $H$. Если $H$ содержит ненейтральный элемент $h$, тогда $\{1, h\}$ есть подгруппа группы $H$ и кардинальность $H$ чётна по теореме Лагранжа.

Обозначим количество общепринятых инволюций в $S_n$ как $a_n$. $a_0=1$, $a_1=1$, $a_n=a_{n-1} + (n-1)\cdot a_{n-2}$. Следовательно, $a_2=2$, $a_3=4$ и для всех $n\geq 2$ имеем $2\mid a_n$.

Дальше не знаю, что делать. Ещё меня смущает, что эта задача в начале учебника, до неё только теорема Лагранжа. Подразумевается, что я не должен использовать сложные инструменты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечётное количество инволюций
Сообщение20.06.2018, 13:58 
Заслуженный участник


18/01/15
3318
beroal
1) cardinality по русски "мощность". Применительно к конечным множествам чаще употребляют слово "порядок". А когда речь идет о конечных группах, то слово "порядок" используется практически всегда.
2) Действительно, задача совершенно элементарная, и теорема Лагранжа тут тоже не нужна. Каждому элементу сопоставим его обратный. Т.е. рассмотрим на группе отображение по правилу $g\mapsto g^{-1}$. Это отображение, заметим, инволютивно. ... Понятен ли намек ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нечётное количество инволюций
Сообщение20.06.2018, 14:18 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
vpb в сообщении #1321334 писал(а):
2) Действительно, задача совершенно элементарная, и теорема Лагранжа тут тоже не нужна. Каждому элементу сопоставим его обратный. Т.е. рассмотрим на группе отображение по правилу $g\mapsto g^{-1}$. Это отображение, заметим, инволютивно. ... Понятен ли намек ?

Мощность множества всех элементов, кроме общепринятых инволюций, чётна. Тогда понятно, спасибо.

vpb в сообщении #1321334 писал(а):
1) cardinality по русски "мощность".

Я знаю, но от чтения английского текста появляются кальки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group