2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Дирихле
Сообщение18.06.2018, 12:58 


01/09/14
357
Задача:
Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге $\left. u\right\rvert_{r=r_{0}}=\cos{\varphi}$.

Решение:
Если общее решение $u(r, \varphi) = A_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}r^n(A_n \cos{n \varphi} + B_n \sin{n \varphi})$, то получается, что $A_0 = 0$, $r_0 A_1 =1$, $A_n = 0, \forall n \geqslant 2$, $B_n = 0, \foralln$. И получаем $u(r, \varphi) = \dfrac{1}{r_0} r \cos{\varphi}$.
Вместе с тем, коэффициенты разложения в ряд Фурье тоже должны давать ответ и вот здесь у меня проблема. У меня получается, что $A_n = 0$. Ход моих рассуждений:
$A_n = \dfrac{1}{\pi r_0^n}\int\limits_{0}^{2 \pi}\cos{\varphi}\cos{(n\varphi)}d\varphi=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\int\limits_{0}^{2\pi}\left(\cos{(n-1)\varphi}+\cos{(n+1)\varphi}\right)d\varphi=$
$=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\left(\dfrac{1}{n-1}\left.\sin{((n-1)\varphi)}\right\rvert\limits_{0}^{2\pi}+\dfrac{1}{n+1}\left.\sin{((n+1)\varphi)}\right\rvert\limits_{0}^{2\pi}\right)=$
$=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\left(\dfrac{1}{n-1}(\sin{(2\pi n)} - \sin{0})+\dfrac{1}{n+1}(\sin{(2\pi n)}-\sin{0})\right)=$
$=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\left(\dfrac{1}{n-1}(0)+\dfrac{1}{n+1}(0)\right)=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\cdot0=0$.
Покажите мне, пожалуйста, ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение18.06.2018, 13:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Charlz_Klug в сообщении #1320786 писал(а):
Покажите мне, пожалуйста, ошибку.
Деление на $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение18.06.2018, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
$A_1$ считайте отдельно

-- 18.06.2018, 15:07 --

Charlz_Klug в сообщении #1320786 писал(а):
$r_0 A_1 =15$

Это как получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение18.06.2018, 13:23 


01/09/14
357
thething в сообщении #1320789 писал(а):
$A_1$ считайте отдельно

-- 18.06.2018, 15:07 --

Charlz_Klug в сообщении #1320786 писал(а):
$r_0 A_1 =15$

Это как получилось?
Опечатался, да. Отдельно $A_1$ получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение18.06.2018, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Charlz_Klug
Поняли, почему Ваше вычисление $A_n$ применимо только при $n\ne 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение18.06.2018, 14:02 


01/09/14
357
thething, из-за того, что при $n=1$ возникают неприятности в $A_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение18.06.2018, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Ага. Общее правило: всегда следите за коэффициентами, которые уходят в знаменатель на предмет их обращения в ноль. И если что, рассматривайте эти случаи отдельно. Хотя, в случае функций Фурье, решать по общей формуле, естественно, ни к чему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле
Сообщение18.06.2018, 14:42 


01/09/14
357
Red_Herring, thething, благодарю за ответы!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group