Задача Дирихле

[Charlz_Klug]

Задача:
Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге $\left. u\right\rvert_{r=r_{0}}=\cos{\varphi}$.

Решение:
Если общее решение $u(r, \varphi) = A_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}r^n(A_n \cos{n \varphi} + B_n \sin{n \varphi})$, то получается, что $A_0 = 0$, $r_0 A_1 =1$, $A_n = 0, \forall n \geqslant 2$, $B_n = 0, \foralln$. И получаем $u(r, \varphi) = \dfrac{1}{r_0} r \cos{\varphi}$.
Вместе с тем, коэффициенты разложения в ряд Фурье тоже должны давать ответ и вот здесь у меня проблема. У меня получается, что $A_n = 0$. Ход моих рассуждений:
$A_n = \dfrac{1}{\pi r_0^n}\int\limits_{0}^{2 \pi}\cos{\varphi}\cos{(n\varphi)}d\varphi=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\int\limits_{0}^{2\pi}\left(\cos{(n-1)\varphi}+\cos{(n+1)\varphi}\right)d\varphi=$
$=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\left(\dfrac{1}{n-1}\left.\sin{((n-1)\varphi)}\right\rvert\limits_{0}^{2\pi}+\dfrac{1}{n+1}\left.\sin{((n+1)\varphi)}\right\rvert\limits_{0}^{2\pi}\right)=$
$=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\left(\dfrac{1}{n-1}(\sin{(2\pi n)} - \sin{0})+\dfrac{1}{n+1}(\sin{(2\pi n)}-\sin{0})\right)=$
$=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\left(\dfrac{1}{n-1}(0)+\dfrac{1}{n+1}(0)\right)=\dfrac{1}{2\pi r_0^n}\cdot0=0$.
Покажите мне, пожалуйста, ошибку.

[Red_Herring]

Charlz_Klug в сообщении #1320786 писал(а):

Покажите мне, пожалуйста, ошибку.

Деление на $0$.

[thething]

$A_1$ считайте отдельно

-- 18.06.2018, 15:07 --

Charlz_Klug в сообщении #1320786 писал(а):

$r_0 A_1 =15$

Это как получилось?

[Charlz_Klug]

thething в сообщении #1320789 писал(а):

$A_1$ считайте отдельно

-- 18.06.2018, 15:07 --

Charlz_Klug в сообщении #1320786 писал(а):

$r_0 A_1 =15$

Это как получилось?

Опечатался, да. Отдельно $A_1$ получается.

[thething]

Charlz_Klug
Поняли, почему Ваше вычисление $A_n$ применимо только при $n\ne 1$?

[Charlz_Klug]

thething, из-за того, что при $n=1$ возникают неприятности в $A_n$?

[thething]

Ага. Общее правило: всегда следите за коэффициентами, которые уходят в знаменатель на предмет их обращения в ноль. И если что, рассматривайте эти случаи отдельно. Хотя, в случае функций Фурье, решать по общей формуле, естественно, ни к чему.

[Charlz_Klug]

Red_Herring, thething, благодарю за ответы!