Обращение времени для полей Дирака

[Slav-27]

Читаю Maggiore: A modern introduction to quantum field theory (п. 4.3.2, в конце) про действие оператора обращения времени на поля Дирака.

Цитата:

Finally, we consider the time-reversal transformation $T$... Time reversal is indeed the case of a symmetry that can be implemented only by an anti-unitary and antilinear operator (see Peskin and Schroeder (1995), page 67).

We want to define $T$ in such a way that $T\Psi T$ satisfies the time-reversed Dirac equation... On the Dirac field this gives $T\Psi(t, x)T=-\gamma_1\gamma_3 \Psi(-t, x).$

We leave it as an exercise to the reader to show that $-\gamma_1\gamma_3 \Psi(-t, x)$ indeed verifies the Dirac equation with $t \to -t$.

$\gamma$-матрицы там в хиральном представлении, то есть $\gamma^0=\begin{pmatrix}0 &1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \gamma^i=\begin{pmatrix}0 & \sigma^i\\ -\sigma^i & 0\end{pmatrix}$, где $\sigma^i$ -- матрицы Паули; $\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu}=2\mathrm{diag}(1,-1, -1, -1)$.

Не получается упражнение.

Надо проверить, что $\psi'(t,x):=\gamma^1\gamma^3\psi(-t,x)$ удовлетворяет уравнению Дирака, если $\psi$ удовлетворяет. То есть надо показать, что $i\gamma^\mu\partial_\mu\psi'(t,x)=m\psi'(t,x)$, иначе говоря, что

$$\boxed{(-i\gamma^0\partial_0 + i\gamma^k\partial_k)\gamma^1\gamma^3\psi(t,x)=m\gamma^1\gamma^3\psi(t,x)}$$

(я сделал замену переменной $t$ на $-t$).

Левая часть равенства в рамке равна $(-i\gamma^1\gamma^3\gamma^0\partial_0-i\gamma^3\partial_1+i\gamma^1\gamma^3\gamma^2\partial_2+i\gamma^1\partial_3)\psi(t,x)$; умножим это на $\gamma^1\gamma^3$ слева: получится $(i\gamma^0\partial_0 + i\gamma^1\partial_1 - i\gamma^2\partial_2 + i\gamma^3\partial_3)\psi(t,x)$, что, по уравнению Дирака для $\psi$, равно $m\psi(t,x)-2i\gamma^2\partial_2\psi(t,x)$.

Итак, мы получили, что $\gamma^1\gamma^3(\text{левая часть})=m\psi(t,x)-2i\gamma^2\partial_2\psi(t,x)$, а должно быть $\gamma^1\gamma^3(\text{левая часть})=-m\psi(t,x)$. Если бы это было одно и то же, то мы имели бы $i\gamma^2\partial_2\psi=m\psi$ для любого решения уравнения Дирака, что, вообще говоря, неверно. Значит, не получилось... Что я делаю не так?

-- 10.06.2018, 21:14 --

Вообще я смотрел в разных книжках, и в некоторых пишут, что "обращённый во времени" спинор будет (с точностью до фазового множителя) $\gamma^1\gamma^3\psi(-t,x)$ (Maggiore, Пескин-Шрёдер), а в некоторых $\gamma^1\gamma^3\psi^*(-t,x)$ (ЛЛ-4). Для второго варианта с уравнением Дирака всё хорошо, а для первого нет. Это разные вещи какие-то?

[Cos(x-pi/2)]

Толком я в этом не разбираюсь, но предполагаю, что в Пескине-Шрёдере надо обратить внимание на формулу (3.133) и также на (3.142). Видимо, Т-операция, описываемая в Пескине-Шрёдере, в применении к уравнению Дирака включает ещё и комплексное сопряжение всех чисел в $(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}).$ При комплексном сопряжении матрица $\gamma^2$ заменяется на $-\gamma^2,$ так как её отличные от нуля элементы чисто мнимые, а остальные три $\gamma$-матрицы не изменяются.

[Slav-27]

Да, видимо так. То есть либо мы считаем обращённым во времени спинором $\gamma^1\gamma^3\psi^*(-t,x)$, и он удовлетворяет уравнению Дирака, либо мы считаем обращённым во времени спинором $\gamma^1\gamma^3\psi(-t,x)$, и он удовлетворяет комплексно сопряжённому уравнению Дирака.

Но в чём смысл удовлетворять комплексно сопряжённому уравнению? Ведь антилинейным должно быть действие оператора обращения времени на состояния (элементы гильбертова пространства), а уравнение Дирака задано на пространстве конечномерного представления группы Лоренца, по которому преобразуется поле. Я думал, что если обращение времени -- симметрия, то решение, обращённое во времени, должно удовлетворять тому же самому уравнению.

Я пытаюсь понять выкладки Пескина-Шрёдера, которые приводят к $\gamma^1\gamma^3\psi(-t,x)$ (а начинаются с квантового поля), но у меня не получается.

[amon]

Slav-27 в сообщении #1320200 писал(а):

Я думал, что если обращение времени -- симметрия, то решение, обращённое во времени, должно удовлетворять тому же самому уравнению.

А подумайте, как устроено обращение времени для уравнения Шредингера. Полезно сравнить уравнение Шредингера для свободной частицы с уравнением диффузии.

[Slav-27]

amon в сообщении #1320205 писал(а):

А подумайте, как устроено обращение времени для уравнения Шредингера.

Ну там-то всё именно так и есть.

Если $\psi(t,x)$ -- решение уравнения Шрёдингера $i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\psi = H\psi$ (где, например, $H=-\hbar^2 \dfrac{\Delta}{2m}$), то обращённым во времени решением можно считать $\psi'(t,x)=\psi^*(-t,x)$, и оно удовлетворяет тому же самому уравнению Шрёдингера:

$$\left(i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} - H\right )\psi^*(-t,x)=\left[\left(-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} - H\right )\psi(-t,x)\right]^*=\left[\left(i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t'} - H\right )\psi(t',x)\right]^*\bigg|_{t'=-t}=0^*=0.$$

Пусть частица с энергией $E$ имеет импульс $p$. Если повернуть время назад, то частица будет двигаться в обратную сторону: она будет иметь энергию $E$ и импульс $-p$. Решение для свободной частицы с энергией $E$ и импульсом $p$ есть $\psi(t,x)=\exp (\frac i \hbar (px-Et))$, обращённое во времени решение $\psi^*(-t,x)=\exp(\frac i \hbar (-px-Et))$.

Решение, обращённое во времени, удовлетворяет тому же самому уравнению.

[amon]

Slav-27 в сообщении #1320219 писал(а):

Решение, обращённое во времени, удовлетворяет тому же самому уравнению.

Не тому же самому, а комплексно-сопряженному. Если убрать мнимые единицы (уравнение диффузии), то это уравнение окажется необратимо во времени. Т.е. в квантовой механике операция обращения времени включает в себя комплексное сопряжение.

[Slav-27]

amon в сообщении #1320240 писал(а):

Не тому же самому, а комплексно-сопряженному.

Ну то есть вы здесь понимаете "обращённое во времени решение" как решение, получаемое заменой $t$ на $-t$, то есть $\psi(-t,x)$ а я понимаю "обращённое во времени решение" как $\psi^*(-t,x)$. "Обращённое во времени решение" в вашем смысле слова для случая свободной частицы имеет отрицательную энергию и у. Ш., естественно, не удовлетворяет. "Обращённое во времени решение" в моём смысле слова удовлетворяет у. Ш.

-- 15.06.2018, 23:25 --

Изначальный вопрос был: чего ради во многих хороших книжках обращённым во времени решением уравнения Дирака называют $\gamma^1\gamma^3\psi(-t,x)$, если уравнению Дирака эта фигня не удовлетворяет? Почему тогда не просто $\psi(-t, x)$? и будем говорить, что это удовлетворяет уравнению Дирака, которое не просто комплексно сопрягли, а и ещё как-нибудь потом поиздевались.

Разумеется, вопрос малосодержательный; я задавал его в надежде на то, что я не понимаю чего-нибудь простого и мне это объяснят.

[amon]

Slav-27 в сообщении #1320247 писал(а):

Ну то есть вы здесь понимаете "обращённое во времени решение" как решение, получаемое заменой $t$ на $-t$, то есть $\psi(-t,x)$ а я понимаю "обращённое во времени решение" как $\psi^*(-t,x)$.

Нет. Я понимаю обращенное во времени решение как и Вы - $\psi^*(-t,x).$ Но тогда оператор об ращения времени содержит кроме замены $t\to -t$ еще и операцию комплексного сопряжения. Тогда для матричного гамильтониана операция обращения времени переводит спинор $|j,j_z\rangle$ в спинор $|j,-j_z\rangle^*.$ То есть, кроме комплексного сопряжения происходит еще и перестановка компонент спинора.

[Cos(x-pi/2)]

Slav-27
Предполагаю (опять же с оговоркой: я не въезжал в это толком, но вдруг Вам поможет разобраться) что, возможно, стоит посмотреть ещё и § 100 "Обращение времени" в томе 2 Бьёркена и Дрелла. Там, говорится о необходимости отличать ситуацию в одночастичной теории, где спинор $\psi,$ насколько понимаю, это система обычных функций, удовлетворяющая уравнению Дирака, от ситуации в КТП - в теории поля $\psi$ это оператор поля; на стр. 129 написано примерно так (для краткости цитирую не точно):

Бьёркен и Дрелл так примерно писал(а):

Рассмотрим далее спинорное поле. Оператор $\mathscr{T}$ определяется следующим образом: $\mathscr{T} \psi(t, \mathbf{x}) \mathscr{T}^{-1} = T\psi(-t, \mathbf{x}),$ где $T=i\gamma^1\gamma^3.$

Это правило преобразования отличается от аналогичного правила в одночастичной теории: $\psi(t, \mathbf{x}) \to T\psi^*(-t, \mathbf{x}).$ В теории поля преобразование $\psi \to T\psi^+$ является неприемлемым, поскольку оно переводит, например, покоящийся электрон в позитрон.

[Slav-27]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1320298 писал(а):

Там, говорится о необходимости отличать ситуацию в одночастичной теории, где спинор $\psi,$ насколько понимаю, это система обычных функций, удовлетворяющая уравнению Дирака, от ситуации в КТП - в теории поля $\psi$ это оператор поля

Ага, вот здесь, похоже, собака и порылась. То есть если у нас классическое решение уравнения Дирака, то обращенное во времени решение будет (с точностью до фазы) $\gamma^1\gamma^3\psi^*(-t,x)$, и оно удовлетворяет уравнению Дирака, как и должно быть.

А вот когда мы это вторично проквантуем, то брать в качестве обращённого во времени решения $\gamma^1\gamma^3\hat\psi^*(-t,x)$ почему-то станет нельзя (?), и надо будет брать $\gamma^1\gamma^3\hat\psi(-t,x)$. Спасибо, буду думать.

[Slav-27]

Однако в ЛЛ-4 (§ 26 "Зарядовое сопряжение и обращение спиноров во времени") написано $\widehat\psi^T(t,x)=U_T \widehat{\overline\psi}(-t,x)$ (формула 26.22), где $U_T=i\gamma^3\gamma^1\gamma^0$ (формула 26.13), а $\widehat{\overline\psi}=\widehat\psi^\dagger\gamma^0$ (формула 25.1). ($T$ обозначает обращение времени, а не транспонирование.)

Последнее равенство означает, насколько я понимаю, что каждый из 4 операторов, образующих спинор-столбец, эрмитово сопрягается, но столбец остаётся столбцом. В таком случае формула (25.1) написана неправильно: должно быть $\gamma^0\widehat\psi^\dagger$.

Это так? Если да, то подставляем всё в первую формулу и получаем $\widehat\psi^T(t,x)=\gamma^1\gamma^3\widehat\psi^\dagger(-t,x)$ (с точностью до фазы), что соответствует формуле для классического (т. е. не вторично квантованного) поля и не соответствует формуле Бьёркена-Дрелла для полевых операторов.

-- 16.06.2018, 12:46 --

Вообще я почему-то думал, что если у нас есть классическое поле $\psi^i$, преобразующееся по какому-нибудь конечномерному представлению $D$ группы Лоренца (скалярному, спинорному, векторному, ...): $\psi'^i(t,x)=D(\Lambda)^i_j\psi^j(\Lambda^{-1}(t,x))$, то в приличных случаях соответствующее вторично-квантованное поле должно под действием преобразований Лоренца преобразовываться по тому же самому конечномерному представлению, в котором живёт исходное поле: $U(\Lambda)^\dagger\widehat\psi^i(t,x)U(\Lambda)=D(\Lambda)^i_j\widehat\psi^j(\Lambda^{-1}(t,x))$, где $U$ -- унитарное представление группы Лоренца в пространстве состояний. Это не всегда так?