сингулярное разложение блочной матрицы

[Andrey_Kireew]

Уважаемые участники форума, подскажите пожалуйста, известны ли формулы для сингуярного разложения блочной матрицы, выражающие его через операции над отдельными блоками? Для обратной матрицы, знаю, известны формулы Фробениуса.

[ewert]

Какие могут быть формулы, если для сингулярного разложения (в отличие от обращения) нет и в принципе не может быть явных формул?

[Andrey_Kireew]

ewert, ну хотя бы для проблемы собственных значений.

[Евгений Машеров]

Поскольку нахождение корней полинома эквивалентно отысканию собственных значений некоторой матрицы, то существование подобных формул означало бы существование выражения для нахождения корней уравнения любой степени...

[Andrey_Kireew]

Действительно, основная проблема - поиск собственных чилел. Если они известны - всё сводится к СЛАУ, а там разбить на блоки просто.

[Евгений Машеров]

Можно найти неравенства для с.з. блочных матриц (у Парлетт встречал, в "Симметрическая проблема собственных значений"), но не точные выражения для них.

[Andrey_Kireew]

Спасибо. Единственное, что приходит в голову - это найти характеристический многочлен. Формула для определителя блочной матрицы известна, правда что получится из этого не совсем понятно. Видимо, для таких больших матриц, будут неприемлемо большие потери точности.

[Евгений Машеров]

Для задачи о собственных значениях невозможность такого алгоритма доказать легко. Строим матрицу, для которой характеристический полином совпадает с заданным. И, если блочный алгоритм существует, корни полинома любой степени можно найти, умея находить с.з. матриц 2х2 и владея "блочным алгоритмом". Для сингулярных, по всей видимости, то же самое.
Некогда я интересовался возможностью пересчитывать сингулярное разложение при добавлении или исключении строк матрицы. Ничего лучше некоей разновидности алгоритма Якоби, диагонализации возникших при модификации возмущений, не придумал.

[Andrey_Kireew]

Да, я как раз об этом, о рекуррентном обновлении начального решения, таким путём, чтобы в памяти всё время находилась лишь небольшая часть матрицы ...