Пускай есть накрытие
, при этом
и
компактны. Доказать, что оно конечнолистно ("Элементарная топология", 34.24).
Приводится примерно следующее доказательство:
дискретно в
, поэтому замкнуто
компактно
конечно.
Однако из дискретности не следует замкнутость: например, можно рассмотреть тривиальное конечнолистное накрытие антидискретного пространства с двумя точками.
В голову приходит примерно следующее доказательство:
Покрыть
правильно накрытыми окрестностями, выбрать конечное подпокрытие такое, что у каждой окрестности будет точка, покрываемая только данной окрестностью. Рассмотреть прообразы этих окрестностей -- они покрывают
. Предположив, что какой-либо прообраз состоит из бесконечного количества листов, мы приходим к противоречию с тем, что листы одной и той же правильно накрытой окрестности не пересекаются, выбрав конечное подпокрытие из всех листов всех прообразов.
С самой задачей вроде бы справился, и понятно, что конечнолистность эквивалентна компактности
. Можно ли факт компактности доказать проще?