2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конечнолистность накрытия
Сообщение14.06.2018, 14:54 


06/09/17
30
Пускай есть накрытие $p: X \rightarrow B$, при этом $X$ и $B$ компактны. Доказать, что оно конечнолистно ("Элементарная топология", 34.24).

Приводится примерно следующее доказательство: $p^{-1}(b)$ дискретно в $X$, поэтому замкнуто $\implies$ компактно $\implies$ конечно.

Однако из дискретности не следует замкнутость: например, можно рассмотреть тривиальное конечнолистное накрытие антидискретного пространства с двумя точками.

В голову приходит примерно следующее доказательство:

Покрыть $B$ правильно накрытыми окрестностями, выбрать конечное подпокрытие такое, что у каждой окрестности будет точка, покрываемая только данной окрестностью. Рассмотреть прообразы этих окрестностей -- они покрывают $X$. Предположив, что какой-либо прообраз состоит из бесконечного количества листов, мы приходим к противоречию с тем, что листы одной и той же правильно накрытой окрестности не пересекаются, выбрав конечное подпокрытие из всех листов всех прообразов.

С самой задачей вроде бы справился, и понятно, что конечнолистность эквивалентна компактности $p^{-1}(b)$. Можно ли факт компактности доказать проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечнолистность накрытия
Сообщение14.06.2018, 15:39 
Заслуженный участник


18/01/15
569
И так все хорошо. Никакого очевидного более простого пути не вижу, и этот очень простой. Похвально. А небольшой ляпсус в книжке --- дело житейское, привыкайте.

Да, кстати. Обучение, конечно, должно быть активным, но надо иметь в распоряжении книжки не только типа "все в задачах", но и более традиционные. На всякий случай рекомендую У.Масси, Дж. Столлингс, Алгебраическая топология. Введение. (на самом деле, это две книги под одной обложкой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечнолистность накрытия
Сообщение14.06.2018, 21:46 


06/09/17
30
Благодарю за совет! Я добью для начала эту -- осталось немного.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group