Конечнолистность накрытия

[npetric]

Пускай есть накрытие $p: X \rightarrow B$, при этом $X$ и $B$ компактны. Доказать, что оно конечнолистно ("Элементарная топология", 34.24).

Приводится примерно следующее доказательство: $p^{-1}(b)$ дискретно в $X$, поэтому замкнуто $\implies$ компактно $\implies$ конечно.

Однако из дискретности не следует замкнутость: например, можно рассмотреть тривиальное конечнолистное накрытие антидискретного пространства с двумя точками.

В голову приходит примерно следующее доказательство:

Покрыть $B$ правильно накрытыми окрестностями, выбрать конечное подпокрытие такое, что у каждой окрестности будет точка, покрываемая только данной окрестностью. Рассмотреть прообразы этих окрестностей -- они покрывают $X$. Предположив, что какой-либо прообраз состоит из бесконечного количества листов, мы приходим к противоречию с тем, что листы одной и той же правильно накрытой окрестности не пересекаются, выбрав конечное подпокрытие из всех листов всех прообразов.

С самой задачей вроде бы справился, и понятно, что конечнолистность эквивалентна компактности $p^{-1}(b)$. Можно ли факт компактности доказать проще?

[vpb]

И так все хорошо. Никакого очевидного более простого пути не вижу, и этот очень простой. Похвально. А небольшой ляпсус в книжке --- дело житейское, привыкайте.

Да, кстати. Обучение, конечно, должно быть активным, но надо иметь в распоряжении книжки не только типа "все в задачах", но и более традиционные. На всякий случай рекомендую У.Масси, Дж. Столлингс, Алгебраическая топология. Введение. (на самом деле, это две книги под одной обложкой).

[npetric]

Благодарю за совет! Я добью для начала эту -- осталось немного.