2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конечнолистность накрытия
Сообщение14.06.2018, 14:54 


06/09/17
112
Москва
Пускай есть накрытие $p: X \rightarrow B$, при этом $X$ и $B$ компактны. Доказать, что оно конечнолистно ("Элементарная топология", 34.24).

Приводится примерно следующее доказательство: $p^{-1}(b)$ дискретно в $X$, поэтому замкнуто $\implies$ компактно $\implies$ конечно.

Однако из дискретности не следует замкнутость: например, можно рассмотреть тривиальное конечнолистное накрытие антидискретного пространства с двумя точками.

В голову приходит примерно следующее доказательство:

Покрыть $B$ правильно накрытыми окрестностями, выбрать конечное подпокрытие такое, что у каждой окрестности будет точка, покрываемая только данной окрестностью. Рассмотреть прообразы этих окрестностей -- они покрывают $X$. Предположив, что какой-либо прообраз состоит из бесконечного количества листов, мы приходим к противоречию с тем, что листы одной и той же правильно накрытой окрестности не пересекаются, выбрав конечное подпокрытие из всех листов всех прообразов.

С самой задачей вроде бы справился, и понятно, что конечнолистность эквивалентна компактности $p^{-1}(b)$. Можно ли факт компактности доказать проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечнолистность накрытия
Сообщение14.06.2018, 15:39 
Заслуженный участник


18/01/15
937
И так все хорошо. Никакого очевидного более простого пути не вижу, и этот очень простой. Похвально. А небольшой ляпсус в книжке --- дело житейское, привыкайте.

Да, кстати. Обучение, конечно, должно быть активным, но надо иметь в распоряжении книжки не только типа "все в задачах", но и более традиционные. На всякий случай рекомендую У.Масси, Дж. Столлингс, Алгебраическая топология. Введение. (на самом деле, это две книги под одной обложкой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечнолистность накрытия
Сообщение14.06.2018, 21:46 


06/09/17
112
Москва
Благодарю за совет! Я добью для начала эту -- осталось немного.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group