Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка

[r0ma]

Здравствуйте!
Читаю метод медлено меняющихся амплитуд по книге Ахманова "Оптика фс лазерных импульсов". И не могу проследить логику в паре моментов. В своё время эта тема прошла мимо меня, поэтому хотелось бы наверстать. В прикреплённом файле выделил нужные страницы.

Конкретно интересует получение формулы (1.1.9). Понятно откуда взялся член $\varepsilon_0(\omega_0)A$. Непонятно, как получился второй член.

Буду рассматривать получение только второго члена. Конкретно по второму члену, когда я подставляю (1.1.8) в (1.1.2) у меня получается

$$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m!}\int_0^{\infty}\varepsilon(t')e^{-i\omega_0 t'}\frac{\partial^m A(t',z)}{\partial t'^m}(-t')^mdt' \cdot e^{i\omega_0 t-ik_0z}dt'.$$

Здесь я внес интеграл с эпсилон под сумму. Теперь смотрите:

$$ (-i)^m \frac{\partial ^m\varepsilon}{\partial \omega^m} = \int_0^{\infty}(-t ')^m\varepsilon (t')e^{-i\omega t'}dt'$$

Последнее следует из дифференцирования (1.1.5) m раз.

Далее, я своё полученное перед этим выражение начинаю интегрировать по частям. За $U = \partial^m A/\partial t'^m$, а $dV = \varepsilon (t') e^{-i\omega t'} (-t')^m dt'$. Тогда после интегрирования по частям с учетом всего выше выведенного (выражение $dV$ интегрируется сразу, получил это выше), получаю:

$$(-i)^m\frac{\partial^m\varepsilon}{\partial\omega^m}\frac{\partial ^m A}{\partial t'^m} - (-i)^m\frac{\partial^m\varepsilon}{\partial\omega^m}\int_0^{\infty}\frac{\partial ^{m+1} A}{\partial t'^{m+1}}dt'$$

что не совпадает со вторым членом (1.1.9)

Что я делаю не так? И как автор книги избавляется от t'?

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- на данный момент низкое разрешение прицепленной картинки не позволяет прочитать что-либо на ней. Замените, пожалуйста, на читаемый вариант.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[amon]

Теперь хоть понятно о чем речь. Подставим ряд Фурье для (8) в (2), получим

$$ D(z,t)=e^{i(\omega t-kz)}\sum_n\frac{A^{(n)}}{n!}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varepsilon_0(t')t'^n e^{-i\omega t'}dt' $$

Под интегралом стоит фурье от произведения функций $\varepsilon_0(t')$ и $t'^n$. Как известно, фурье от произведения равно свертке фурье- образов, а фурье от $t'^n$ равно (с точностью до нормировки преобразования Фурье) $2(-i)^n\delta^{(n)}(\omega),$ откуда и должна получаться формула из учебника. Только надо не забыть, что из-за знака в $e^{-i\omega t'}$ образы получатся от $-\omega.$

[r0ma]

amon
да, картинку вставил, а не проверил, что она кликабельна.

Да, вроде разобрался. Только $\varepsilon$ получается должна быть от $-\omega$. Вообще, как понял, там производная получается:

$$\frac{\partial ^m\varepsilon (-\omega)}{\partial(-\omega)^m}$$

Видимо, автор полагает $\varepsilon(\omega)=\varepsilon (-\omega)$, тогда

$$\frac{\partial ^m\varepsilon (-\omega)}{\partial^m(-\omega)}=(-1)^m\frac{\partial ^m\varepsilon (\omega)}{\partial \omega^m}.$$

Тогда всё получается как в учебнике.

Вопрос такой, что-то я не понимаю, а с размерностями в формуле (2) что?

$$D = \int\varepsilon (t') E(t-t') dt'$$

Вектора $D$ и $E$ должны быть одинаковой размерности, а тут на секунду различаются.

[Alex-Yu]

r0ma в сообщении #1320370 писал(а):

Вектора $D$ и $E$ должны быть одинаковой размерности, а тут на секунду различаются.

Во этом представлении эпсилон не безразмерная.

Кстати, частный случай: $\delta(t)$ тоже не безразмерная. Ибо интеграл должен равняться безразмерной единице. Забавно, правда? Но, если подумать, вполне очевидно (надо вспомнить как преобразуется дельта-функция при преобразовании ее аргумента). А еще можно рассмотреть дельта-функцию как предел(вообще-то слабый, не поточечный). Под пределом явно размерная величина.

[r0ma]

Alex-Yu в сообщении #1320396 писал(а):

Во этом представлении эпсилон не безразмерная.

А как тогда связана $\varepsilon$ в этом интегральном представлении с $\varepsilon$, которая в $D = \varepsilon E$?

[amon]

r0ma в сообщении #1320577 писал(а):

А как тогда связана $\varepsilon$ в этом интегральном представлении с $\varepsilon$, которая в $D = \varepsilon E$?

Преобразованием Фурье. Одно есть фурье от другого.

[Alex-Yu]

r0ma в сообщении #1320577 писал(а):

А как тогда связана $\varepsilon$ в этом интегральном представлении с $\varepsilon$, которая в $D = \varepsilon E$?

Во-первых $D = \varepsilon_1 E$ --- это приближение, здесь пренебрегают временной дисперсией. Если хотите, частный случай $\varepsilon(t)=\varepsilon_1\delta(t)$. Дельта-функция, как уже говорилось, --- величина размерная.

-- Вс июн 17, 2018 19:37:19 --

amon в сообщении #1320581 писал(а):

Преобразованием Фурье. Одно есть фурье от другого.

Извините, но такого лучше не говорить. Во всяком случае в данном контексте (в каком-то смысле правильно, но... именно в каком-то).

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1320582 писал(а):

Извините, но такого лучше не говорить.

Мы в общем-то одно и тоже говорим. Интегральная связь это математическая запись того обстоятельства, что $D$ и $E$ связаны линейно: $D=\int \varepsilon(t,t')E(t')dt'.$ Из трансляционной инвариантности во времени (отсутствия выделенного начала отсчета времени) следует, что $\varepsilon(t,t')=\varepsilon(t-t').$ Тогда, беря фурье от, связи получим $D(\omega)=\varepsilon(\omega)E(\omega).$ Если в некотором интервале частот $\varepsilon$ не зависит от $\omega$ то для этого интервала, взяв обратное фурье, приближенно получим $\varepsilon(t)=\varepsilon_1\delta(t).$

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1320587 писал(а):

Тогда, беря фурье от, связи получим $D(\omega)=\varepsilon(\omega)E(\omega).$

Ну мне-то это все очевидно. Но, думаю, особенно если омегу в скобочках опустить, да без подробных пояснений, ТС это только запутает. Явно не это (фурье-образы поля) он имел в виду.