2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение13.06.2018, 23:01 
Аватара пользователя


10/03/11
192
Здравствуйте!
Читаю метод медлено меняющихся амплитуд по книге Ахманова "Оптика фс лазерных импульсов". И не могу проследить логику в паре моментов. В своё время эта тема прошла мимо меня, поэтому хотелось бы наверстать. В прикреплённом файле выделил нужные страницы.

Конкретно интересует получение формулы (1.1.9). Понятно откуда взялся член $\varepsilon_0(\omega_0)A$. Непонятно, как получился второй член.

Буду рассматривать получение только второго члена. Конкретно по второму члену, когда я подставляю (1.1.8) в (1.1.2) у меня получается

$$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m!}\int_0^{\infty}\varepsilon(t')e^{-i\omega_0 t'}\frac{\partial^m A(t',z)}{\partial t'^m}(-t')^mdt' \cdot e^{i\omega_0 t-ik_0z}dt'.$$

Здесь я внес интеграл с эпсилон под сумму. Теперь смотрите:

$$ (-i)^m \frac{\partial ^m\varepsilon}{\partial \omega^m} = \int_0^{\infty}(-t ')^m\varepsilon (t')e^{-i\omega t'}dt'$$
Последнее следует из дифференцирования (1.1.5) m раз.

Далее, я своё полученное перед этим выражение начинаю интегрировать по частям. За $U = \partial^m A/\partial t'^m$, а $dV = \varepsilon (t') e^{-i\omega t'} (-t')^m dt'$. Тогда после интегрирования по частям с учетом всего выше выведенного (выражение $dV$ интегрируется сразу, получил это выше), получаю:

$$(-i)^m\frac{\partial^m\varepsilon}{\partial\omega^m}\frac{\partial ^m A}{\partial t'^m} - (-i)^m\frac{\partial^m\varepsilon}{\partial\omega^m}\int_0^{\infty}\frac{\partial ^{m+1} A}{\partial t'^{m+1}}dt'$$

что не совпадает со вторым членом (1.1.9)

Что я делаю не так? И как автор книги избавляется от t'?


Изображение

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.06.2018, 14:30 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
10530
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- на данный момент низкое разрешение прицепленной картинки не позволяет прочитать что-либо на ней. Замените, пожалуйста, на читаемый вариант.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.06.2018, 20:56 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15381
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение14.06.2018, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3394
ФТИ им. Иоффе СПб
Теперь хоть понятно о чем речь. Подставим ряд Фурье для (8) в (2), получим
$$
D(z,t)=e^{i(\omega t-kz)}\sum_n\frac{A^{(n)}}{n!}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varepsilon_0(t')t'^n e^{-i\omega t'}dt'
$$Под интегралом стоит фурье от произведения функций $\varepsilon_0(t')$ и $t'^n$. Как известно, фурье от произведения равно свертке фурье- образов, а фурье от $t'^n$ равно (с точностью до нормировки преобразования Фурье) $2(-i)^n\delta^{(n)}(\omega),$ откуда и должна получаться формула из учебника. Только надо не забыть, что из-за знака в $e^{-i\omega t'}$ образы получатся от $-\omega.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение16.06.2018, 15:52 
Аватара пользователя


10/03/11
192
amon
да, картинку вставил, а не проверил, что она кликабельна.

Да, вроде разобрался. Только $\varepsilon$ получается должна быть от $-\omega$. Вообще, как понял, там производная получается:
$$\frac{\partial ^m\varepsilon (-\omega)}{\partial(-\omega)^m}$$
Видимо, автор полагает $\varepsilon(\omega)=\varepsilon (-\omega)$, тогда
$$\frac{\partial ^m\varepsilon (-\omega)}{\partial^m(-\omega)}=(-1)^m\frac{\partial ^m\varepsilon (\omega)}{\partial \omega^m}.$$
Тогда всё получается как в учебнике.

Вопрос такой, что-то я не понимаю, а с размерностями в формуле (2) что?
$$D = \int\varepsilon (t') E(t-t') dt'$$

Вектора $D$ и $E$ должны быть одинаковой размерности, а тут на секунду различаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение16.06.2018, 18:40 
Заслуженный участник


21/08/10
1596
r0ma в сообщении #1320370 писал(а):
Вектора $D$ и $E$ должны быть одинаковой размерности, а тут на секунду различаются.


Во этом представлении эпсилон не безразмерная.

Кстати, частный случай: $\delta(t)$ тоже не безразмерная. Ибо интеграл должен равняться безразмерной единице. Забавно, правда? Но, если подумать, вполне очевидно (надо вспомнить как преобразуется дельта-функция при преобразовании ее аргумента). А еще можно рассмотреть дельта-функцию как предел(вообще-то слабый, не поточечный). Под пределом явно размерная величина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение17.06.2018, 15:17 
Аватара пользователя


10/03/11
192
Alex-Yu в сообщении #1320396 писал(а):
Во этом представлении эпсилон не безразмерная.

А как тогда связана $\varepsilon$ в этом интегральном представлении с $\varepsilon$, которая в $D = \varepsilon E$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение17.06.2018, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3394
ФТИ им. Иоффе СПб
r0ma в сообщении #1320577 писал(а):
А как тогда связана $\varepsilon$ в этом интегральном представлении с $\varepsilon$, которая в $D = \varepsilon E$?
Преобразованием Фурье. Одно есть фурье от другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение17.06.2018, 15:36 
Заслуженный участник


21/08/10
1596
r0ma в сообщении #1320577 писал(а):
А как тогда связана $\varepsilon$ в этом интегральном представлении с $\varepsilon$, которая в $D = \varepsilon E$?



Во-первых $D = \varepsilon_1 E$ --- это приближение, здесь пренебрегают временной дисперсией. Если хотите, частный случай $\varepsilon(t)=\varepsilon_1\delta(t)$. Дельта-функция, как уже говорилось, --- величина размерная.

-- Вс июн 17, 2018 19:37:19 --

amon в сообщении #1320581 писал(а):
Преобразованием Фурье. Одно есть фурье от другого.


Извините, но такого лучше не говорить. Во всяком случае в данном контексте (в каком-то смысле правильно, но... именно в каком-то).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение17.06.2018, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3394
ФТИ им. Иоффе СПб
Alex-Yu в сообщении #1320582 писал(а):
Извините, но такого лучше не говорить.
Мы в общем-то одно и тоже говорим. Интегральная связь это математическая запись того обстоятельства, что $D$ и $E$ связаны линейно: $D=\int \varepsilon(t,t')E(t')dt'.$ Из трансляционной инвариантности во времени (отсутствия выделенного начала отсчета времени) следует, что $\varepsilon(t,t')=\varepsilon(t-t').$ Тогда, беря фурье от, связи получим $D(\omega)=\varepsilon(\omega)E(\omega).$ Если в некотором интервале частот $\varepsilon$ не зависит от $\omega$ то для этого интервала, взяв обратное фурье, приближенно получим $\varepsilon(t)=\varepsilon_1\delta(t).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод медленно меняющихся амплитуд. Математическая загвоздка
Сообщение17.06.2018, 18:13 
Заслуженный участник


21/08/10
1596
amon в сообщении #1320587 писал(а):
Тогда, беря фурье от, связи получим $D(\omega)=\varepsilon(\omega)E(\omega).$



Ну мне-то это все очевидно. Но, думаю, особенно если омегу в скобочках опустить, да без подробных пояснений, ТС это только запутает. Явно не это (фурье-образы поля) он имел в виду.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group