Разрезание клетчатого квадрата

[Ktina]

Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам
клеток на две фигуры одинакового периметра так, чтобы в одной фигуре клеток было ровно
в 8 раз больше, чем в другой?

Мне удалось это сделать, только квадрат получился уж слишком большой, со стороной 18.
Объясняю патент. Первая фигура содержит все клетки верхней строки квадрата, кроме последней (самой правой), три первые (самые левые) клетки из второй (сверху) строки, а также весь крайний левый столбец. Всё остальное - вторая фигура. Периметры в этом случае будут одинаковыми, а отношение площадей фигур будет

$$\dfrac{n}{2}-1$$

, где $n$ - сторона квадрата. Таким образом, если мы желаем получить отношение, равное 8, нам придётся взять квадрат со стороной 18.

Можно ли выполнить требуемое в задаче на меньшем квадрате?

[mihiv]

Часть периметра каждой из двух фигур образована границами клеток, принадлежащими одновременно границе большого квадрата. Очевидно эти части периметров двух фигур должны быть равны друг другу и,следовательно, равны $2n$. Отсюда следует, что число клеток, составляющих малую фигуру $m\geq 2n-2$. Поэтому $ \frac {n^2}{2n-2}\geq \frac {n^2}m=9$ ,отсюда $n\geq 9+\sqrt {63}$ или $n\geq 17$. Но $n$ должно делиться на 3, так что минимальное $n$ равно 18.

[Andrey_Kireew]

Сейчас, перепроверю

[kotenok gav]

А периметр?

[Andrey_Kireew]

-- 10.06.2018, 17:15 --

Вот и пример, всё сходится. Это минимальный квадрат. При то что фигуры должны быть связанными нигде сказано не было.

-- 10.06.2018, 17:16 --

Решений там, как видите много, можно наверное получить и более интересные.

[Someone]

Andrey_Kireew в сообщении #1318722 писал(а):

Вот и пример, всё сходится.

Не сходится. Периметры фигур не одинаковые. Периметр красной фигуры равен $48$, а белой — $56$.

[Andrey_Kireew]

Я уже и сам заметил ... (боковые не учёл). Для стороны 12 не получается никак. Минимальный периметр большого будет 46, при этом у малого - будет только 36. Увеличить периметр малого без увеличения большого никак нельзя.

[mihiv]

Если разрешить фигурам быть несвязанными, то число клеток, составляющих малую фигуру должно быть: $m\geq 2n-4$, тогда $\frac {n^2}{2n-4}\geq \frac {n^2}m=9$.
Отсюда $n\geq 9+\sqrt {45}$ или $n\geq 17$, т.е. тот же результат.

-- Вс июн 10, 2018 18:28:13 --

Точнее $n\geq 16$, но т.к. $n$ делится на 3, то минимальное $n\geq 18.$

[Ktina]

mihiv
Большое спасибо!