Разностная схема

[Charlz_Klug]

Условие:
Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольнике $\{ 0 \le x \le a, 0 \le y \le b \}$ методом конечных разностей с шагом по осям $x$ и $y$ соответственно $h_x$ и $h_y$, а $u_{\text{л}}$, $u_{\text{п}}$, $u_{\text{н}}$, $u_{\text{в}}$ — соответственно значения функции $u(x,t)$ на левой, правой, нижней и верхней сторонах прямоугольника. Для решения использовать явную трёхслойную схему "крест". Построить диаграмму распределения значений функции $u(x,t)$ в виде линий уровня.
$a=2$, $b=3$, $h_x = 0.4$, $u_{\text{л}} = 20$, $u_{\text{п}} = 100$, $u_{\text{н}} = 0$, $u_{\text{в}} = 50$.

Что у меня вызывает недоумение: если мы имеем уравнение Лапласа, то, вроде бы, никакой речи про функцию $u(x,t)$ не может быть, скорее всего имелось ввиду $u(x,y)$? Это первое, второе: разве может быть "явная трёхслойная схема "крест"? И третье: не понятно какая температура в углах прямоугольника, насколько я понимаю температура на углах не должна противоречить заданным условиям. Ваши мнения?

[Pphantom]

Charlz_Klug в сообщении #1314731 писал(а):

Что у меня вызывает недоумение: если мы имеем уравнение Лапласа, то, вроде бы, никакой речи про функцию $u(x,t)$ не может быть, скорее всего имелось ввиду $u(x,y)$?

По-видимому, да. Во всяком случае, все остальное согласуется с этим предположением.

Charlz_Klug в сообщении #1314731 писал(а):

Это первое, второе: разве может быть "явная трёхслойная схема "крест"?

Может.

Charlz_Klug в сообщении #1314731 писал(а):

И третье: не понятно какая температура в углах прямоугольника, насколько я понимаю температура на углах не должна противоречить заданным условиям. Ваши мнения?

Посмотрите, что такое "крест". Когда Вы это сделаете, то выяснится, что температура в углах Вам не нужна.

[thething]

Charlz_Klug в сообщении #1314731 писал(а):

насколько я понимаю температура на углах не должна противоречить заданным условиям

Если ищется классическое решение, то в углах температура совпадает, по какому из граничных условий её не смотри, т.е. в углах происходит непрерывная склейка. В данном же случае речь идёт об обобщённом решении.

-- 25.05.2018, 06:05 --

Charlz_Klug в сообщении #1314731 писал(а):

может быть "явная трёхслойная схема "крест"?

Видимо под "явной" здесь имеется ввиду явный итерационный метод, когда Вы выражаете $u_{ij}$ на $k+1$-й итерации через окружающие значения на $k$-й.

[TOTAL]

Charlz_Klug в сообщении #1314731 писал(а):

второе: разве может быть "явная трёхслойная схема "крест"?

Явная трехслойная схема "крест" для уравнения теплопроводности неустойчива. Так что уточняйте условие у составителя.

[worm2]

Ну да, с "явной трёхслойной" схемой для данной задачи составители явно погорячились.
Лично я тоже не знаю, что они имели в виду (даже после замены $t$ на $y$). Выглядит, как будто взяты слова из разных задач и смешаны в одну.

-- Пт май 25, 2018 12:48:47 --

Кстати, ещё и $h_y$ не задано.

[ewert]

Про "тэ" -- это, конечно, опечатка.

Про "явную трёхслойную крест" -- понятия не имею. Из этих трёх слов осмысленны лишь полтора. Полслова -- это "крест"; осмысленно при всей своей бессмысленности, т.к. там в любом варианте какой-то крест.

Ну и вполне осмысленно слово "явная". Имелась в виду наверняка явная схема для уравнения теплопроводности, к которой Лаплас и сводится (в наиболее вульгарном варианте). Кстати, и пресловутое "тэ" явно проскочило в условие именно отсюда -- так всегда бывает, если сочинять задачки не отходя от кайфа.

-- Пн май 28, 2018 21:50:24 --

TOTAL в сообщении #1314761 писал(а):

Явная трехслойная схема "крест" для уравнения теплопроводности неустойчива.

Даже при том, что понятия не имею, кто все эти люди что это за слова -- не могу не полюбопытстовать: что, абсолютно?...

[Pphantom]

Можно посмотреть вот это, первые две страницы.

[ewert]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1315671 писал(а):

Можно посмотреть вот это, первые две страницы.

Пардон, что там за трендёж?... Во-первых, устойчивость (формальная) тривиальна в силу положительной определённости матрицы, и не при чём тут никакие принципы максимума. Во-вторых, устойчивость эта лишь формальна в силу жутко плохой обусловленности той матрицы. В-третьих, никакого отношения к практическому решению тех систем этот текст не имеет (во всяком случае, его первые две странички и, во всяком случае, для практически интересных размерностей).

[Pphantom]

ewert в сообщении #1315674 писал(а):

Пардон, что там за трендёж?...

У ТС, насколько я понимаю, чисто учебное задание (судя по его некоторой странности), и мне кажется, что ноги у него растут примерно из такого текста.

[TOTAL]

ewert в сообщении #1315663 писал(а):

Ну и вполне осмысленно слово "явная". Имелась в виду наверняка явная схема для уравнения теплопроводности, к которой Лаплас и сводится (в наиболее вульгарном варианте). Кстати, и пресловутое "тэ" явно проскочило в условие именно отсюда -- так всегда бывает, если сочинять задачки не отходя от кайфа.

TOTAL в сообщении #1314761 писал(а):

Явная трехслойная схема "крест" для уравнения теплопроводности неустойчива.

Даже при том, что понятия не имею, кто все эти люди что это за слова -- не могу не полюбопытстовать: что, абсолютно?...

$$\dfrac{u^{n+1}_j-u^{n-1}_j}{2\tau}=\dfrac{u^{n}_{j-1}-2u^{n}_j+u^{n}_{j+1}}{h^2}$$

Я под схемой крест привык понимать вот такую схему. Это явная трехслойная схема (слои нумеруются верхним индексом) для одномерного уравнения теплопроводности. Методом установления по аналогичной схеме можно было бы численно решить задачу с уравнением Лапласа. Схема абсолютно неустойчива.

Когда говорят про слои, обычно имеют в виду дифференцирование по времени.

Про аппроксимацию пространственных производных обычно говорят, например, так: "пространственные производные аппроксимировать со вторым порядком на трехточечном шаблоне по каждому направлению" (для схемы по ссылке чуть выше). Выглядит как крест, но что именно подразумевалось в задаче, неясно.

[Charlz_Klug]

worm2 в сообщении #1314794 писал(а):

Кстати, ещё и $h_y$ не задано.

Это я сам упустил, извините.

-- 10.06.2018, 15:15 --

TOTAL в сообщении #1314761 писал(а):

Явная трехслойная схема "крест" для уравнения теплопроводности неустойчива. Так что уточняйте условие у составителя.

Взял в конечном итоге неявную схему. Спасибо всем отозвавшимся!