Что следует из неопределенности?

[Ivan_B]

Пусть $A$ влечет $B$. Если $A$ истинно, значит и $B$ истинно. Если $A$ ложно, значит $B$ может быть как истинным так и ложным.
А что, если $A$ неопределенно?
Демидович 135.
Доказать, что если $x_n>0$, $n=(1, 2, \dots)$ и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n\varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}=1$, то последовательность $x_n$ - сходящаяся.

Если $\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n=A>0$ то $\inf\limits_{i>N}x_i>0$ начиная c некоторого $N$
Если $\forall n (x_n\geqslant M>0)$, то $\forall n \left(\frac{1}{x_n}\leqslant\frac{1}{M}\right)$ Из нижней границы $x_n$ можно получить верхнюю границу для $\frac{1}{x_n}$
Если $\forall i (0<M_i\leqslant M)$, то $\forall i \left(\frac{1}{M_i}\geqslant\frac{1}{M}\right)$ Если $M$ - максимальное значение, то $\frac{1}{M}$ минимальное из $\frac{1}{M_i}$
Значит, если $M$ была точной нижней границей $x_n$, то $\frac{1}{M}$ будет точной верхней границей $\frac{1}{x_n}$
Если $\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n=A>0$ и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n=B$, то $\varliminf\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}=\frac{1}{B}$ и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}=\frac{1}{A}$
Поэтому исходное равенство верно только если $\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n=\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n$
Непонятно как обосновать $\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n=A>0$

[Brukvalub]

Если нижний предел положительной последовательности - нулевой, то верхний предел ее обратных величин бесконечен, и тогда из условия следует, что верхний предел этой последовательности тоже нулевой.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1318272 писал(а):

то верхний предел ее обратных величин бесконечен, и тогда из условия следует, что верхний предел этой последовательности тоже нулевой.

И тогда из условия следует, что для этого случая формулировка в условии некорректна.

[Ivan_B]

ewert в сообщении #1318283 писал(а):

для этого случая формулировка в условии некорректна.

Спасибо Вам за это пояснение. Без него мне все равно было бы непонятно.
Спасибо всем за Ваши ответы!