Скопипастил
отсюда.
1) Ахиллес и черепаха бегают наперегонки по ординалам. Ахиллес стартует с ординала

, а черепаха с ординала

. Скорость черепахи равна

, скорость Ахиллеса ---

(другими словами, через время

, измеряемое в ординалах, Ахиллес будет находиться на ординале

, а черепаха на ординале

). Через какое время Ахиллес догонит черепаху?
2) После первого забега черепаха обнаглела и сама дала фору Ахиллесу (равную ординалу

). Сможет ли Ахиллес убежать от нее?
3) Скажем, что буква русского алфавита является буквой второй категории, если на плоскости нельзя нарисовать более чем счетное число непересекающихся экземпляров этих букв. Например, буква "Т" --- второй категории (см.
задачник Лаврова и Максимовой, задача номер 1.4.21). Буквы, которые не второй категории, считаются первой категории (какие-то они все тощие

). Какое самое длинное слово можно составить из букв первой категории?
4) Пусть для натурального числа

значение

равно максимальной мощность множества

--- подмножества

, такого что для любых

,

,

,

из

интервалы

и

либо совпадают, либо не пересекается. Другими словами,

--- это максимальная мощность полного графа, который можно нарисовать в

без того, чтобы на рисунке ребра пересекались. Ясно, что

,

. Чему равно

?
5) Пусть для натурального числа

значение

равно числу частичных порядков мощности

(порядки считаются с точностью до изоморфизма) Утверждение

звучит так: "существует бесконечно много

, таких что число

есть палиндром в десятичной записи". Доказать, что утверждение

не доказуемо и не опровергаемо в аксиоматике Цермело-Френкеля.