Доказательство этой вспомогательной теоремы действительно нетривиально, индукцией по порядку уравнения.
Никакой индукции. Это тупое следствие теоремы о существовании и
единственности решения задачи Коши. Которая -- нетривиальна, да (в какую фамилию её ни облачить). И ссылка на эту теорему -- нетривиальна своей необходимостью (хотя и очевидна, стоит этот вопрос только поставить).
----------------------------
Возможно, я неправильно понял Вашу реплику. Возможно, в некотором царстве, в некотором государстве доказывают ту теорему сперва для ДУ 1-го порядка, а потом, пыхтя, обобщают по индукции на высшие порядки. Всё в этом мире не исключено. Но конкретно это -- абсолютно бессмысленно. Поскольку доказательство теоремы о существовании и единственности происходит в точности одинаково как для одного уравнения первого порядка, так и для системы (если вообще происходит, конечно, а не просто заявляется). Ну а уж сведение ДУ высшего порядка к системе первого порядка -- это вообще трюизм, причём абсолютно необходимый даже с сугубо вычислительной точки зрения, не говоря уж о теории.