Почему определитель Вронского не равен нулю всюду на отрезке

[ioleg19029700]

Вот есть теорема о линейной зависимости системы функций. Если система $(m-1)$ раз непрерывно дифференцируемых функций линейно зависима, то определитель Вронского для этой системы тождественно равен нулю на всем отрезке. Это необходимое условие, значит, если найдётся хотя бы ОДНА точка на отрезке, где определитель не равен нулю, то система функций линейно независима. Отрицание этого необходимого условия ничего не говорит об остальных точках отрезка. Почему тогда в теореме об альтернативе для определителя Вронского для решений линейного ОДУ $n$-го порядка обнаружение хотя бы одной точки, в которой определитель не равен нулю, кроме линейной независимости решений сразу влечет неравенство определителя в любой другой точке?

Вот как у меня сформулирована альтернатива:
Для решений $y_1(t), y_2(t),\ldots,y_n(t)$ линейного однородного уравнения $a_0(t)y^{(n)}(t)+a_1(t)y^{(n-1)}(t)+\ldots+a_n(t)y(t)=0$ на отрезке $[a,b]$ справедлива альтернатива:
Либо $W[y_1,y_2,\ldots, y_n](t)\equiv 0$ на $[a,b]$ и функции $y_1(t),y_2(t),\ldots, y_n(t)$ линейно зависимы на этом отрезке;
Либо $W[y_1,y_2,\ldots, y_n](t)\not = 0$ $\forall t\in [a,b]$ и функции $y_1(t),y_2(t),\ldots, y_n(t)$ линейно независимы $[a,b]$

[pogulyat_vyshel]

Степанов Курс дифференциальных уравнений

[ioleg19029700]

Наверно не нужно было задавать этот вопрос вообше, потому что пока я его писал, то понял, где возникает противоречие. Предположение, что в какой-то другой точке определитель Вронского равен нулю, приводит к противоречию с линейной независимостью решений.

[ewert]

ioleg19029700 в сообщении #1317195 писал(а):

Предположение, что в какой-то другой точке определитель Вронского равен нулю, приводит к противоречию с линейной независимостью решений.

Нет, не приводит -- до тех пор, пока не оговорено, что это именно решения.

Первое утверждение вашем стартовом посте и впрямь тривиально. То же (якобы обратное), в котором Вы усомнились -- действительно нетривиально и следует из теоремы о единственности решения задачи Коши.

[thething]

ioleg19029700
Интересующее Вас утверждение формулируется так: пусть $y_1(t), y_2(t),..., y_n(t)$ -- решения исходного уравнения. Тогда условие $W(t_0)=0$ влечёт, что $W(t)\equiv 0$ и решения эти линейно зависимы.

Доказательство ссылается на теорему, известную мне, как теорема о нулевом решении: пусть $\varphi (t)$ -- решение уравнения такое, что в некоторой точке $t_0$ справедливы равенства $\varphi (t_0)=\varphi'(t_0)=...=\varphi^{n-1}(t_0)=0$. Тогда $\varphi (t)\equiv 0$. Доказательство этой вспомогательной теоремы действительно нетривиально, индукцией по порядку уравнения.

Ну а даже тождественное равенство нулю определителя Вронского произвольной системы функций не влечёт её линейной зависимости. Думаю, пример подобрать нетрудно.

[ewert]

thething в сообщении #1317393 писал(а):

Доказательство этой вспомогательной теоремы действительно нетривиально, индукцией по порядку уравнения.

Никакой индукции. Это тупое следствие теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. Которая -- нетривиальна, да (в какую фамилию её ни облачить). И ссылка на эту теорему -- нетривиальна своей необходимостью (хотя и очевидна, стоит этот вопрос только поставить).

----------------------------

Возможно, я неправильно понял Вашу реплику. Возможно, в некотором царстве, в некотором государстве доказывают ту теорему сперва для ДУ 1-го порядка, а потом, пыхтя, обобщают по индукции на высшие порядки. Всё в этом мире не исключено. Но конкретно это -- абсолютно бессмысленно. Поскольку доказательство теоремы о существовании и единственности происходит в точности одинаково как для одного уравнения первого порядка, так и для системы (если вообще происходит, конечно, а не просто заявляется). Ну а уж сведение ДУ высшего порядка к системе первого порядка -- это вообще трюизм, причём абсолютно необходимый даже с сугубо вычислительной точки зрения, не говоря уж о теории.

[thething]

(ewert)

ewert в сообщении #1317507 писал(а):

Возможно, в некотором царстве, в некотором государстве доказывают ту теорему сперва для ДУ 1-го порядка, а потом, пыхтя, обобщают по индукции на высшие порядки

Нет, на данный момент теоремы о существовании и единственности вообще нет никакой и не анонсируется. Просто рассматривается теория по линейным уравнениям $n$-го порядка, и вот одно из их свойств. На первом этапе индукции обходятся тоже без теоремы существования и единственности, а доказывают путём умножения уравнения на нужную экспоненту. Это если говорить об уравнении с постоянными коэффициентами.

Для случая уравнения с переменными коэффициентами всё сводится к системе ДУ первого порядка и аналогичная теорема о нулевом решении доказывается через интегральное представление и неравенство Гронуолла.

О бессмысленности судить не буду. Существование и единственность решения з.К. потом, естественно, тоже доказывается, для одного уравнения и для систем первого порядка. Не знаю, почему так, может показать разнообразие методов.