сложная тч-шка

[ArtemSultanov]

Давно мучаюсь с одной тч-шкой.
Первоначальная задача: найти все такие натуральные a, b, c и d;a>1, b>1, c>1, d>1 такие что

$$a^b=d \cdot c^b+1$$

Очевидно, что при b=2 это частный случай уравнения Пелля. Однако, если увеличить b, то начинает казаться, что решений нет вообще. Возможно, что при четных b можно решить, используя явную или рекуррентную формулу решений уравнения Пелля. При нечетных продвижения есть только при b=3, ведь в этом случае можно иногда сводить к Великой Теореме Ферма, например, если
d содержит в разложении на простые множители только 2 и 3, при этом $d \not = 2$. Если d=2, то сводится к ВТФ только в случае, если $a\equiv 1\pmod{3}$. Иначе получается уравнение вида $k^2 + k + 1=l^3$, где k и l натуральные, при этом k не четно. Самое удивительное то, что если k может быть четным, то решения есть, например k=18, l=7.
Прошу идеи, а если возможно помощь в решении.

[maxal]

Решения есть для любого $b$.
Например: $a=c^b+1$ и $d = \frac{(c^b+1)^b - 1}{c^b}$ дают решение для любых выбранных $b,c$.

Пример: для $b=5$ и $c=2$ получаем $a=33$ и $d=\frac{33^5-1}{2^5}=1222981$.

[ArtemSultanov]

Простите, я не совсем верно описал задачу, нужно считать, что b и d - параметры, например решить это при b=3, d=2.

[Andrey A]

Тогда решение подобное Пеллю находится разложением $\sqrt[b]{d}\approx \dfrac{a}{c}$. Если оно существует. Лучше брать $a^b-dc^b= \pm 1$. Для кубов кроме тривиальных $d=n^3\pm 1$ таких чисел в пределах сотни видно пять: $17,19,37,43,91.$ Для некоторых $d$ доказано отсутствие решений (как раз вроде бы для $d=2$ кроме тривиальных), и для любого $d$ лишь конечное число решений в случае фиксированного $b>2$. А вот найдется ли такое $b$ для произвольного $d$ - вопрос. В пределах сотни помимо кубов видно только $3^4-5\cdot 2^4=1$ и $5^4-39\cdot 2^4=1$. Все решения для $d<100$ отыскиваются не позже 4-го знака разложения при большом последующем знаке. Для какого $d$ имеется два нетривиальных решения не знаю.
$\sqrt[3]{37}=3,3,99,...$
$\sqrt[3]{2}=1,3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,2,3,2,1,3,4,1,1,2,14,3,...$

(Оффтоп)

Сильно не вникал, но кажется это связано с ABC-гипотезой. Вот и идея, читайте.

[Sonic86]

Andrey A в сообщении #1317538 писал(а):

кажется это связано с ABC-гипотезой. Вот и идея, читайте.

Да, сразу в форме $C<(\mathrm{rad}(ABC))^2$, чтобы $\epsilon$ не мешал. Так сразу получаем оценку сверху на $a,c$, т.е. остается только выполнять перебор, если $b,d$ заданы.

[ArtemSultanov]

Спасибо. Однако это не особо помогает именно решать задачу, поэтому давайте попробуем решить то, с чего все начиналось.
Понять, почему нет решений, кроме тривиальных, уравнения $x^3-2y^3=1$

[grizzly]

ArtemSultanov в сообщении #1319224 писал(а):

Однако это не особо помогает именно решать задачу, поэтому давайте попробуем решить то, с чего все начиналось.
Понять, почему нет решений, кроме тривиальных, уравнения $x^3-2y^3=1$

Так а что конкретно непонятно? Вы уже пытались посмотреть первую ссылку в гугле по запросу "x^3-2y^3=1"? (Поиск в гугле персонифицирован, поэтому у Вас эта ссылка может быть не первой, но на первой странице должна быть.) Там достаточно понятно?