Я должен был вернутся к этому вопросу. С размерностью теперь все в порядке. Но проблема осталась.
Есть такая функция:

Теперь использую формулу:

И пишу:

Просто заменил "длинный логарифм" на гиперболический арксинус.
Теперь мне нужно найти частную производную:

Вот тут-то и возникает проблема.
Если пользоватся выражением для

с "длинным логарифмом", то получается:

После упрощения:

Теперь посчитаем ту же производную, но воспользуемся выражением для

с гиперболическим арксинусом:

При дифференцировании мы использовали формулу:

Так что:

Итак, первый раз дифференцировали и получили:

Второй раз дифференцировали и получили:

Теперь воспользуемся ещё раз формулой связи между "длинным логарифмом" и гиперболическим арксинусом и перепишем вторую формулу (заменим арксинус на логарифм). Тогда получим:

и:

Вот как быть с этим

. Производные от одной и той же фукнции

по

отличаются (как раз на аргумент дифференцирования). Здесь кто-то спрашивал меня имеет ли

знак, я сразу не понял почему это важно, но может дело в этом. В формулу для

(с логарифмом)

входит только в квадрате, а в формулу для

(с арксинусом)

входит в первой степени (в знаменателе, в аргументе арксинуса).
И понятно, почему во втором случае у нас сокращаются два члены. Они имеют разные знаки. Как раз потому, что

в аргументте арксинуса входит как

, и когда мы это дифференцируем, то получаем

. Знак меняется. А когда мы имеем дело с логарифмом, то там знаки этих двух членов одинаковы и они не сокращаются. В чем же может проблема? Почему получаются разные результаты? Мы ведь использовали только формулу:
