Зависимость функций (Зорич)

[jdex]

Доброго времени суток всем!
Собственно два (как по мне, связанных) вопроса по Зоричу.

1) В пункте о локальном приведении гладкого отображения к каноническому виду есть замечание к теореме о ранге:

Цитата:

Если в любой точке исходной окрестности $U \subset\mathbb{R}^m$ ранг отображения $f:U \to\mathbb{R}^n$ равен $n$, то точка $y_0=f(x_0)$, где $x_0\in U$, является внутренней точкой множества $f(U)$, т.е. содержится в $f(U)$ вместе с некоторой своей окрестностью.

Т.е. если ранг отображения меньше $n$, то точка $y_0=f(x_0)$ может не являться внутренней точкой множества $f(U)$? (Зорич об этом умалчивает). Тогда она может быть или граничной, или внешней точкой? Тогда какой?

2) Теперь собственно к вопросу о зависимости функций. Дано определение функциональной независимости:

Цитата:

Говорят, что система непрерывных функций $f^i(x)=f^i(x^1,\dots,x^m) (i=1,\dots,n)$ является функционально независимой в окрестности точки $x_0=(x^1_0,\dots,x^m_0)$, если для любой непрерывной функции $F(y)=F(y^1,\dots,y^n)$, определенной в окрестности точки $y_0=(y^1_0,\dots,y^n_0)=(f^1(x_0),\dots,f^n(x_0))=f(x_0)$, соотношение $F(f^1(x^1,\dots,x^m),\dots,f^n(x^1,\dots,x^m))\equiv0$ в окрестности точки $x_0$ возможно только в случае, когда $F(y^1,\dots,y^n)\equiv0$ в окрестности точки $y_0$.

(Здесь небольшое уточнение: выражение $F(f^1(x^1,\dots,x^m),\dots,f^n(x^1,\dots,x^m))\equiv0$ , как понимаю, следует читать: функция $F(\dots)$ равна нулю для всех $x$ из окрестности точки $x_0$ ?)

Теперь интересующее утверждение:

Цитата:

Если система $f^i(x)=f^i(x^1,\dots,x^m) (i=1,\dots,n)$ гладких функций, пределенных в окрестности $U(x_0)$ точки $x_0 \in \mathbb{R}^m$ такова, что ранг матрицы

$$\begin{pmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f^1}{\partial x^m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f^n}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f^n}{\partial x^m} \end{pmatrix}(x)$$

в любой точке $x \in U$ один и тот же и равен $k$, то
а) при $k=n$ система функционально независима в окрестности $x_0$;
б) при $k<n$ найдутся окрестность точки $x_0$ и такие $k$ функций системы, пусть $f^1,\dots,f^k$, что остальные $n-k$ функций системы в этой окрестности представляются в виде

$$ f^i(x^1,\dots,x^m)=g^i(f^1(x^1,\dots,x^m),\dots,f^k(x^1,\dots,x^m)), $$

где $g^i(y^i,\dots,y^k)$ - гладкие функции, определенные в окрестности точки $y_0=(f^1(x_0),\dots,f^n(x_0))$ и зависящие только от $k$ координат текущей точки $y=(y^1,\dots,y^n)$.

При доказательстве пункта а) используется приведенное выше замечание к теореме о ранге. В доказательстве пункта б) ничего существенного нет. После доказательства автор излагает:

Цитата:

Мы показали, что если $k<n$, то найдутся $n-k$ специальных функций $F^i(y)=y^i-g^i(y^1,\dots,y^k)(i=k+1,\dots,n)$, устанавливающих соотношения

$$ F(f^1(x),\dots,f^k(x),f^i(x) )\equiv 0, (i=k+1,\dots,n)$$

между функциями системы $f^1,\dots,f^k,\dots,f^n$ в окрестности точки $x_0$

Если исходить из отрицания функциональной независимости, то функционально зависимой будет система непрерывных функций $f^i(x)=f^i(x^1,\dots,x^m) (i=1,\dots,n)$ в окрестности точки $x_0=(x^1_0,\dots,x^m_0)$, если найдется непрерывная функция $F(y)=F(y^1,\dots,y^n)$, определенная в окрестности точки $y_0=(y^1_0,\dots,y^n_0)=(f^1(x_0),\dots,f^n(x_0))=f(x_0)$, для которой будут справедливы соотношения: $F(f^1(x^1,\dots,x^m),\dots,f^n(x^1,\dots,x^m))\equiv0$ в окрестности точки $x_0$ и $F(y^1,\dots,y^n)$ не равна тождественно нулю в окрестности точки $y_0$
Но если такое утверждение имеет место, то тогда функции $F^i(y)=y^i-g^i(y^1,\dots,y^k)\equiv 0, (i=k+1,\dots,n)$ в окрестности точки $y_0$, поскольку $f^i(x^1,\dots,x^m)=g^i(f^1(x^1,\dots,x^m),\dots,f^k(x^1,\dots,x^m))$, где $g^i(y^i,\dots,y^k)$ - гладкие функции, определенные в окрестности точки $y_0=(f^1(x_0),\dots,f^n(x_0))$ и мы имеем функционально независимую систему. Где я ошибаюсь, подскажите пожалуйста? Это как-то связано с моим первым вопросом? Это собственно и второй вопрос.

Буду благодарен любым подсказкам.

[pogulyat_vyshel]

jdex в сообщении #1317159 писал(а):

точка $y_0=f(x_0)$ может не являться внутренней точкой множества $f(U)$? (Зорич об этом умалчивает). Тогда она может быть или граничной, или внешней точкой? Тогда какой?

ну сами-то пример придумайте, кривую заданную параметрически рассмотрите в трехмерном пространстве $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$

jdex в сообщении #1317159 писал(а):

меет место, то тогда функции $F^i(y)=y^i-g^i(y^1,\dots,y^k)\equiv 0, (i=k+1,\dots,n)$ в окрестности точки $y_0$, поскольку $f^i(x^1,\dots,x^m)=g^i(f^1(x^1,\dots,x^m),\dots,f^k(x^1,\dots,x^m))$, где $g^i(y^i,\dots,y^k)$ - гладкие функции, определенные в окрестности точки $y_0=(f^1(x_0),\dots,f^n(x_0))$ и мы имеем функционально независимую систему. Где я ошибаюсь, подскажит

картинки надо за этим всем видеть иначе не разберетесь

[iifat]

jdex в сообщении #1317159 писал(а):

как понимаю, следует читать: функция $F(\dots)$ равна нулю для всех $x$ из окрестности точки $x_0$?)

По-моему, не «для всех», а «существует». Посмотрите по доказательству.

[jdex]

pogulyat_vyshel в сообщении #1317163 писал(а):

ну сами-то пример придумайте, кривую заданную параметрически рассмотрите в трехмерном пространстве $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$

ранг равен единице и точки граничные, как понимаю.

pogulyat_vyshel в сообщении #1317163 писал(а):

картинки надо за этим всем видеть иначе не разберетесь

пока правильных картинок нет :(

iifat в сообщении #1317165 писал(а):

По-моему, не «для всех», а «существует». Посмотрите по доказательству.

Из определения тождества: тождество - равенство, справедливо при всех числовых значениях, входящих в него обозначений. Может я что-то не понимаю, но можете объяснить конкретнее, что вы имели в виду? По какому доказательству смотреть?

[iifat]

jdex в сообщении #1317173 писал(а):

По какому доказательству смотреть?

По доказательству теоремы, которая использует неясную формулировку.

[jdex]

iifat в сообщении #1317180 писал(а):

По доказательству теоремы, которая использует неясную формулировку.

Доказательство пункта а)

Цитата:

В самом деле, если $k=n$, то в силу замечания ... к теореме о ранге при отображении $y^1=f^1(x^1,\dots,x^m),\dots,y^n=f^n(x^1,\dots,x^m)$ образ окрестности рассматриваемой точки $x_0$ содержит целую окрестность точки $y_0=f(x_0)$. Но тогда соотношение $F(f^1(x^1,\dots,x^m),\dots,f^n(x^1,\dots,x^m))\equiv 0$ в окрестности $x_0$ возможно только при условии, что $F(y^1,\dots,y^n)\equiv 0$ в окрестности точки $y_0$. Этим утверждение а) доказано.

Доказательство б) не содержит выражений с тождеством, поэтому приводить его не буду.

Не очень понятно, как "прилепить" формулировку "существует" вместо "для всех" для тождества в этом случае. Может приведете пример?

-- 04.06.2018, 14:40 --

Насчет моего второго вопроса, если я правильно понял, то $F(y^1,\dots,y^n)$ тождественно может быть не равно нулю в окрестности точки $y_0=f(x_0)$ при $k<n$, поскольку образ окрестности точки $x_0$ может не содержать целую окрестность точки $y_0=f(x_0)$ (точка $y_0$ может быть граничной), поэтому может найтись такое $y'$ с окрестности $y_0$, что $F(y')\ne0$, откуда система линейно зависима?

[iifat]

jdex в сообщении #1317183 писал(а):

Может приведете пример?

Не приведу. Третью палочку сразу не заметил.