Дифуры: найти уравнение кривой

[AlexeyM88]

Текст задачи: Найти уравнение кривой, проходящей через точку $M_0 (1; 5)$, если для любой точки кривой $M$ произведение ординаты точки пересечения касательной с осью $O_y$ и квадрата абсциссы точки касания $M = 3$.
Как я пытался её решить:
Из условий ясно, что $y(1)=5$; $M_0(x_0; y_0)$ - точка касания; уравнение касательной: $y = y_0 + y'(x_0) \cdot (x - x_0)$.
$y(0) = y_0 - y'_0 \cdot x_0$
$(y + y'(x_0)) \cdot x_0^2 = 3$
$(y + y') \cdot x^2 = 3$
$y' + y = \frac{3}{x^2}$
Решая методом вариации произвольной постоянной, на первом этапе решая уравнение $y' + y = 0$ получаю: $y = e^{-x} \cdot C_1$; на втором этапе решения, решая уравнение $u' \cdot e^{-x} = \frac{3}{x^2}$ получаю вот этот прекрасный интеграл: $du = \frac{3 \cdot e^{x}}{x^2}$
Насколько я знаю, интегралы типа $\int{\frac{e^x}{x^n} \cdot dx}$ не берутся.
Правильно ли решена задача? Я склоняюсь к тому, что где-то ошибка.
Пожалуйста помогите решить.

Lia: Название темы изменено на содержательное.

[thething]

AlexeyM88 в сообщении #1316845 писал(а):

$y(0) = y_0 - y'_0 \cdot x_0$
$(y + y'(x_0)) \cdot x_0^2 = 3$

Ошибка в этом переходе от первой строки ко второй

[AlexeyM88]

$(y + y' \cdot x) \cdot x^2 = 3$
Так верно?

[thething]

А знак как же?

[AlexeyM88]

$(y - y'(x_0)) \cdot x^2_0 = 3$

[thething]

AlexeyM88 в сообщении #1316859 писал(а):

:facepalm:
$(y - y'(x_0)) \cdot x^2_0 = 3$

Таак, а теперь соберите всё воедино, а то одну ошибку исправили, другая вернулась

[AlexeyM88]

$(y - y' \cdot x) \cdot x^2 = 3$
Значит, всё-таки вот так?

-- 02.06.2018, 17:50 --

У меня получилось общее решение уравнения: $y = \frac{1}{x^2} + C \cdot x$
После решения задачи Коши: $y = \frac{1}{x^2} + 4 \cdot x$
Вроде всё верно... Спасибо!