2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифуры: найти уравнение кривой
Сообщение02.06.2018, 15:36 


02/04/18
44
Текст задачи: Найти уравнение кривой, проходящей через точку $M_0 (1; 5)$, если для любой точки кривой $M$ произведение ординаты точки пересечения касательной с осью $O_y$ и квадрата абсциссы точки касания $M = 3$.
Как я пытался её решить:
Из условий ясно, что $y(1)=5$; $M_0(x_0; y_0)$ - точка касания; уравнение касательной: $y = y_0 + y'(x_0) \cdot (x - x_0)$.
$y(0) = y_0 - y'_0 \cdot x_0$
$(y + y'(x_0)) \cdot x_0^2 = 3$
$(y + y') \cdot x^2 = 3$
$y' + y = \frac{3}{x^2}$
Решая методом вариации произвольной постоянной, на первом этапе решая уравнение $y' + y = 0$ получаю: $y = e^{-x} \cdot C_1$; на втором этапе решения, решая уравнение $u' \cdot e^{-x} = \frac{3}{x^2}$ получаю вот этот прекрасный интеграл: $du = \frac{3 \cdot e^{x}}{x^2}$
Насколько я знаю, интегралы типа $\int{\frac{e^x}{x^n} \cdot dx}$ не берутся.
Правильно ли решена задача? Я склоняюсь к тому, что где-то ошибка.
Пожалуйста помогите решить.

 i  Lia: Название темы изменено на содержательное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу
Сообщение02.06.2018, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
AlexeyM88 в сообщении #1316845 писал(а):
$y(0) = y_0 - y'_0 \cdot x_0$
$(y + y'(x_0)) \cdot x_0^2 = 3$

Ошибка в этом переходе от первой строки ко второй

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу
Сообщение02.06.2018, 15:59 


02/04/18
44
$(y + y' \cdot x) \cdot x^2 = 3$
Так верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу
Сообщение02.06.2018, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
А знак как же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу
Сообщение02.06.2018, 16:09 


02/04/18
44
:facepalm:
$(y - y'(x_0)) \cdot x^2_0 = 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу
Сообщение02.06.2018, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
AlexeyM88 в сообщении #1316859 писал(а):
:facepalm:
$(y - y'(x_0)) \cdot x^2_0 = 3$

Таак, а теперь соберите всё воедино, а то одну ошибку исправили, другая вернулась

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифуры: найти уравнение кривой
Сообщение02.06.2018, 16:15 


02/04/18
44
$(y - y' \cdot x) \cdot x^2 = 3$
Значит, всё-таки вот так?

-- 02.06.2018, 17:50 --

У меня получилось общее решение уравнения: $y = \frac{1}{x^2} + C \cdot x$
После решения задачи Коши: $y = \frac{1}{x^2} + 4 \cdot x$
Вроде всё верно... Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group