Помогите доказать близкую к ВТФ задачку

[ananova]

Давно не могу доказать, а время терять не хочется.

$z-y$ - натуральное число, а $z, y$ - не целые числа.
Не могу доказать, что при этих условиях
$\dfrac {z^3-y^3}{z-y}$ - не целое число.

[grizzly]

ananova в сообщении #1316563 писал(а):

Давно не могу доказать, а время терять не хочется.

Чтобы не тратить попусту время, вспомните свойства золотого сечения: попробуйте $z=\Phi$, $y=\varphi =\Phi-1$.

[Andrey A]

$\dfrac {z^3-y^3}{z-y}=z^2+zy+y^2=\dfrac {(z-y)^2+3(z+y)^2}{4}$
Если $(z-y)$ - целое, то и $(z+y)$ должно быть целым. Такое возможно, если в знаменателях $z,y$ двойка при нечетных числителях. Но тогда имеем квадраты разной четности, и на $4$ не разделится.

[grizzly]

Andrey A в сообщении #1316581 писал(а):

Если $(z-y)$ - целое, то и $(z+y)$ должно быть целым.

Что-то Ваше рассуждение моему примеру противоречит (см. выше). Кто-то из нас ошибается :)

[Andrey A]

Дык оно от противного. Пропущено: предположим, что эта дробь - целое число. Тогда если $(x-y)$ - целое, то... и т.д. Оно и приводит к противоречию.

[grizzly]

Andrey A
Внимательнее, пожалуйста. Чуть выше у меня пример, когда дробь -- целое число. И все условия выполнены.

[Andrey A]

А, ну я в рациональных понял вопрос, возможно ТС это и имел в виду под "не целыми". Иначе да, достаточно Вашего контрпримера.

[ananova]

Благодарен за помощь!
Осталось "более сильная" задача:

$z-y$ - натуральное число, а $z, y$ - не целые числа, $x$ - натуральное число
Не могу доказать, что при этих условиях произведение
$(\dfrac {z^3-x^3}{z-x})(\dfrac {y^3+x^3}{y+x})$ - не целое число.

[venco]

Решение то же:
$x=\Phi, y=\Phi-1, x=1$

[ananova]

venco в сообщении #1316745 писал(а):

Решение то же:
$x=\Phi, y=\Phi-1, x=1$

Вы, наверное, имели ввиду $z=\Phi$?
Вопрос: а для $x > 1$ тоже подобные решения?

[venco]

Да 2 раза.
Вы недооцениваете количество иррациональных чисел. Для любого целого $x$ из области значений найдётся $z=y+k$, и, скорее всего, оно будет иррациональным.

[Andrey A]

ananova в сообщении #1316745 писал(а):

"более сильная" задача: $z-y$ - натуральное число...

Прибавьте к этому условию $zy$ - целое число, и этого будет достаточно для контрпримера. Можно так: $z=\sqrt{a}+b,\ y=\sqrt{a}-b$, $x$ - произвольное целое. Она не более сильная задача. Положите $z-y=c_1,\ zy=c_2$ и разложите $(z^2+zx+x^2)(y^2-yx+x^2)$, отбрасывая явно целые слагаемые и вынося потом за скобки целые $x,c_1,c_2$. Например так: $z^2+y^2=(z^2-2c_2+y^2)+2c_2=c_1^2+2c_2.$

[ananova]

Благодарю всех. Я "перевариваю" результаты с большой задержкой, поэтому прошу извинить за паузы.
Очередная порция задачи. Попытка не пытка.

ananova в сообщении #1316743 писал(а):

$z-y$ - натуральное число, а $z, y$ - не целые числа, $x$ - натуральное число
Не могу доказать, что при этих условиях произведение
$(\dfrac {z^3-x^3}{z-x})(\dfrac {y^3+x^3}{y+x})$ - не целое число.

Можно ли также легко и просто, как Вы это сделали, показать, что при заданных условиях, если $(\dfrac {z^3-x^3}{z-x})(\dfrac {y^3+x^3}{y+x})$ - натуральное число, то оно взаимно просто с натуральным числом $(z-y)$?

[Andrey A]

Оставим $z=\sqrt{a}+b,\ y=\sqrt{a}-b$. Тогда $z-y=2b=c_1,zy=a-b^2=c_2.$ Если $a,b$ имеют общий делитель $d$, то $c_1,c_2$ тоже кратны $d$. Добавим к этому $x\ \vdots \ d$, и любой многочлен от трех переменных $x,c_1,c_2$ будет кратен $d$. Но даже при вз. простых $a,b$ вроде бы имеем квадратичное сравнение по $\mod c_1$, которое непонятно почему должно быть неразрешимо. Попробуйте, самому это интересней. Относительно $x$ там, правда, четвертая степень вылезает, легче выписать всё в терминах $a,b$ и решать сравнение относительно $a$ по $\mod b $.

[ananova]

Если притягивать "за уши" к ВТФ, то $(z-y,x)=\sqrt[3]{z-y}$ и таки да, в этом случае, ранее обозначенные числа должны быть взаимно простыми. Это пока без доказательства, но внутреннее предчуствие.