2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение31.05.2018, 18:26 


15/12/05
754
Давно не могу доказать, а время терять не хочется.

$z-y$ - натуральное число, а $z, y$ - не целые числа.
Не могу доказать, что при этих условиях
$\dfrac {z^3-y^3}{z-y}$ - не целое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение31.05.2018, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
ananova в сообщении #1316563 писал(а):
Давно не могу доказать, а время терять не хочется.
Чтобы не тратить попусту время, вспомните свойства золотого сечения: попробуйте $z=\Phi$, $y=\varphi =\Phi-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение31.05.2018, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1304
Санкт-Петербург
$\dfrac {z^3-y^3}{z-y}=z^2+zy+y^2=\dfrac {(z-y)^2+3(z+y)^2}{4}$
Если $(z-y)$ - целое, то и $(z+y)$ должно быть целым. Такое возможно, если в знаменателях $z,y$ двойка при нечетных числителях. Но тогда имеем квадраты разной четности, и на $4$ не разделится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение31.05.2018, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Andrey A в сообщении #1316581 писал(а):
Если $(z-y)$ - целое, то и $(z+y)$ должно быть целым.
Что-то Ваше рассуждение моему примеру противоречит (см. выше). Кто-то из нас ошибается :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение31.05.2018, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1304
Санкт-Петербург
Дык оно от противного. Пропущено: предположим, что эта дробь - целое число. Тогда если $(x-y)$ - целое, то... и т.д. Оно и приводит к противоречию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение31.05.2018, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Andrey A
Внимательнее, пожалуйста. Чуть выше у меня пример, когда дробь -- целое число. И все условия выполнены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение31.05.2018, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1304
Санкт-Петербург
А, ну я в рациональных понял вопрос, возможно ТС это и имел в виду под "не целыми". Иначе да, достаточно Вашего контрпримера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение01.06.2018, 18:57 


15/12/05
754
Благодарен за помощь!
Осталось "более сильная" задача:

$z-y$ - натуральное число, а $z, y$ - не целые числа, $x$ - натуральное число
Не могу доказать, что при этих условиях произведение
$(\dfrac {z^3-x^3}{z-x})(\dfrac {y^3+x^3}{y+x})$ - не целое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение01.06.2018, 19:24 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
Решение то же:
$x=\Phi, y=\Phi-1, x=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение01.06.2018, 19:43 


15/12/05
754
venco в сообщении #1316745 писал(а):
Решение то же:
$x=\Phi, y=\Phi-1, x=1$

Вы, наверное, имели ввиду $z=\Phi$?
Вопрос: а для $x > 1$ тоже подобные решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение01.06.2018, 21:35 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
Да 2 раза.
Вы недооцениваете количество иррациональных чисел. Для любого целого $x$ из области значений найдётся $z=y+k$, и, скорее всего, оно будет иррациональным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение01.06.2018, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1304
Санкт-Петербург
ananova в сообщении #1316745 писал(а):
"более сильная" задача: $z-y$ - натуральное число...

Прибавьте к этому условию $zy$ - целое число, и этого будет достаточно для контрпримера. Можно так: $z=\sqrt{a}+b,\ y=\sqrt{a}-b$, $x$ - произвольное целое. Она не более сильная задача. Положите $z-y=c_1,\ zy=c_2$ и разложите $(z^2+zx+x^2)(y^2-yx+x^2)$, отбрасывая явно целые слагаемые и вынося потом за скобки целые $x,c_1,c_2$. Например так: $z^2+y^2=(z^2-2c_2+y^2)+2c_2=c_1^2+2c_2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение08.06.2018, 14:09 


15/12/05
754
Благодарю всех. Я "перевариваю" результаты с большой задержкой, поэтому прошу извинить за паузы.
Очередная порция задачи. Попытка не пытка.

ananova в сообщении #1316743 писал(а):

$z-y$ - натуральное число, а $z, y$ - не целые числа, $x$ - натуральное число
Не могу доказать, что при этих условиях произведение
$(\dfrac {z^3-x^3}{z-x})(\dfrac {y^3+x^3}{y+x})$ - не целое число.


Можно ли также легко и просто, как Вы это сделали, показать, что при заданных условиях, если $(\dfrac {z^3-x^3}{z-x})(\dfrac {y^3+x^3}{y+x})$ - натуральное число, то оно взаимно просто с натуральным числом $(z-y)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение08.06.2018, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1304
Санкт-Петербург
Оставим $z=\sqrt{a}+b,\ y=\sqrt{a}-b$. Тогда $z-y=2b=c_1,zy=a-b^2=c_2.$ Если $a,b$ имеют общий делитель $d$, то $c_1,c_2$ тоже кратны $d$. Добавим к этому $x\ \vdots \ d$, и любой многочлен от трех переменных $x,c_1,c_2$ будет кратен $d$. Но даже при вз. простых $a,b$ вроде бы имеем квадратичное сравнение по $\mod c_1$, которое непонятно почему должно быть неразрешимо. Попробуйте, самому это интересней. Относительно $x$ там, правда, четвертая степень вылезает, легче выписать всё в терминах $a,b$ и решать сравнение относительно $a$ по $\mod b $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать близкую к ВТФ задачку
Сообщение09.06.2018, 13:56 


15/12/05
754
Если притягивать "за уши" к ВТФ, то $(z-y,x)=\sqrt[3]{z-y}$ и таки да, в этом случае, ранее обозначенные числа должны быть взаимно простыми. Это пока без доказательства, но внутреннее предчуствие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group