вроде простой предел

[alcoholist]

столкнулся тут с такой задачей
Пусть $\{x_n\}$ -- монотонно стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел
верно ли, что

$$ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)x_k\to 0? $$

и что даже $O(x_n)$, впрочем, это не обязательно.

Задача, конечно, эквивалентна непрерывной: если (положительная, невозрастающая) $R(n)\to 0$, то

$$ \int_0^1tR\Bigl(n(1-t)\Bigr)dt\to 0 $$

что-то мне какую-то науку напоминает... Но я кроме сведения к непрерывной и попыткам применить теорему о среднем никаких продвижений не сделал

[thething]

Теорема Штольца не поможет? Дважды, если я правильно прикинул

[alcoholist]

да, спасибо) Всегда про нее забываю... А из теоремы о среднем следует, конечно

[thething]

А я как вижу такие суммы в пределах, так про неё сразу же вспоминаю)

[ewert]

alcoholist в сообщении #1316713 писал(а):

Пусть $\{x_n\}$ -- монотонно стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел
верно ли, что

$$ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)x_k\to 0? $$

А я вот теорему Штольца никогда не помню. Знаю, конечно, о её существовании, но запомнить формулировку -- не в силах. Помню лишь базовую её идею, из которой всё очевидным образом следует безо всяких теорем.

Конкретно здесь. Ну к чему тут положительность да ещё и монотонность иксов?... Всем ежам ведь понятно: если иксы ограничены по по модулю, то и подпредельные выражения тем более ограничены по модулю. Ну а если те иксы ещё и к нулю стремятся -- так и очевидно. Как эту очевидность формализовать?... -- стандартным приёмом типа "эпсилон пополам". Но лучше не в классическом его варианте, а вульгарнее.

Берём любую последовательность $(m_n)$, стремящуюся к бесконечности, но медленнее, чем сам эн. Из того, что медленнее, мгновенно следует, что часть суммы до $m_n$ даёт результат, стремящийся к нулю. А из того, что всё-таки неограниченно возрастает (с учётом стремления иксов к нулю) -- не менее мгновенно и вторая часть стремится к нулю. И никаких натягиваний ежа на глобус Штольцев, тем паче двукратных.