Леммы и теоремы

[Someone]

Отделено от «Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций». Теги оффтопа убраны.

Ktina в сообщении #1316423 писал(а):

Otta
В справочнике по высшей математике Гусака, Гусак и Бричиковой данный факт именуется именно теоремой (теорема 13.6 на странице 209 издания 2000г.)

Помнится, когда я был аспирантом, я как-то принёс своему научному руководителю черновик своей статьи. Тут рядышком оказался профессор Б. А. Пасынков, и они начали смотреть статью вдвоём. Борис Алексеевич смотрел-смотрел да и говорит: «Что это тут у Вас "Лемма 1, "Лемма 2, "Утверждение 1" и так далее, и только в конце "Теорема". Надо писать "Теорема 1", "Теорема 2", "Теорема 3" и так далее.» Видимо, в справочнике этого принципа и придерживались.

[ewert]

Someone в сообщении #1316596 писал(а):

Тут рядышком оказался профессор Б. А. Пасынков, и они начали смотреть статью вдвоём. Борис Алексеевич смотрел-смотрел да и говорит: «Что это тут у Вас "Лемма 1, "Лемма 2, "Утверждение 1" и так далее, и только в конце "Теорема". Надо писать "Теорема 1", "Теорема 2", "Теорема 3" и так далее.»

Откуда следует, что профессору преподавать не обязательно и даже противопоказано. Это если воспринимать эту байку буквально. Но есть смутные подозрения, что он всего лишь пошутил.

[Someone]

ewert в сообщении #1316609 писал(а):

Откуда следует, что профессору преподавать не обязательно и даже противопоказано.

Речь шла не о преподавании, а о научной статье, и он имел в виду, что следует не скромничать, а наоборот, рекламировать свои результаты.
А я, рассказывая эту историю, имел в виду, что названия "лемма", "теорема" и т. п. имеют скорее технические различия, нежели содержательные, поскольку смысл у них у всех одинаковый. Поэтому можно обозвать утверждение леммой или теоремой по собственному усмотрению.

[ewert]

Someone в сообщении #1316622 писал(а):

названия "лемма", "теорема" и т. п. имеют скорее технические различия, нежели содержательные, поскольку смысл у них у всех одинаковый.

Не совсем так. Если всё называть теоремами, то текст теряет структурированность и, соответственно, становится менее читабельным. Это относится как к учебным, так и к научным текстам, просто для первых это важнее. Что же касается рекламы, то она фиктивна -- звание теоремы присваивается или нет результату читателями независимо от того, каким словом обозвал этот результат автор.

[eugensk]

Irving Kaplansky, в книге Commutative Rings писал(а):

In the style of Landau, or Hardy and Wright, I have presented the material as an unbroken series of theorems. I prefer this to the n-place decimal system favored by some authors, and I have also grown tired of seeing a barrage of lemmas, propositions, corollaries, and scholia (whatever they are). I admit that this way the lowliest lemma gets elevated to the same eminence as the most awesome theorem. Also, the number of theorems becomes impressive, so impressive that I felt the need to add an index of theorems.

А вы пишете схолии? Наверняка они здорово смотрятся, надо попробовать.

[Someone]

ewert в сообщении #1316640 писал(а):

Если всё называть теоремами, то текст теряет структурированность и, соответственно, становится менее читабельным.

Для структурирования текста следует использовать другие средства, а использование разнообразных наименований для однородных элементов текста этому весьма мало помогает. Тем более, что обычно леммами именуют вспомогательные утверждения, а теоремами — основные, причём, чередование тех и других диктуется вовсе не желанием структурировать текст. Но разделение утверждений на вспомогательные и основные является в значительной степени относительным, и "самая главная теорема" в одной работе может оказаться одной из многих вспомогательных лемм в другой.

В том случае, который я описал, речь шла о небольшой заметке, в которой я доказывал определённое интересное мне утверждение. Надо сказать, что в то время области интересов моя и Пасынкова были весьма близки, и то, что я считал вспомогательными и побочными утверждениями (и постеснялся назвать теоремами), с точки зрения Пасынкова были не хуже моей "самой главной теоремы"/

[Gagarin1968]

Someone в сообщении #1316669 писал(а):

Но разделение утверждений на вспомогательные и основные является в значительной степени относительным

Someone
Полностью согласен. Я даже усилю Вашу мысль. Можете назвать аксиому, лемму и теорему, которые были бы эквивалентны?
Я могу. Аксиома выбора, лемма Цорна и теорема Цермело.
Почему Цорн назвал своё утверждение леммой, а не теоремой - одному богу Цорну известно.

[nya]

Gagarin1968 в сообщении #1316686 писал(а):

Можете назвать аксиому, лемму и теорему, которые были бы эквивалентны?

Ну почти: (аксиома) о полноте по Дедекинду, признак Даламбера сходимости рядов, теорема о среднем значении.

[beroal]

Я для себя все разновидности теорем называю формальная теорема.

Правильно ли я понимаю?

• Теорема есть важная формальная теорема.
• Лемма есть формальная теорема, которая используется в теореме;
• Следствие есть формальная теорема, которая использует теорему;
• Факт есть частный случай теоремы.

Я согласен, что важность субъективна, но уверен, что все будут продолжать использовать этот зоопарк названий.

[Anton_Peplov]

beroal в сообщении #1317024 писал(а):

Лемма есть формальная теорема, которая используется в теореме

и ни для чего, кроме как для доказательства этой теоремы, толком не нужна.

beroal в сообщении #1317024 писал(а):

Следствие есть формальная теорема, которая использует теорему

и почти ничего другого не использует. Доказательство короткое и простое, состоит из ссылок на теорему и небольшое количество ранее доказанных формальных теорем.

... утверждение есть формальная теорема, которая не является ни леммой, ни следствием, но так легко доказывается, что автор постеснялся назвать это теоремой. Вот это деление на теоремы и утверждения лично мне всегда только мешает, поэтому в конспектах я всё это называю теоремами. А вот понятия леммы и следствия нахожу полезными. Впрочем, это мнение самонедоучки, основанное на конспектировании некоторого количества учебников математики.

[arseniiv]

Лемма vs. теорема — это разделение неудобное хотя бы по той причине, что зависимости обычно сложнее, чем два слоя. Это не значит, конечно, что никак не обозначать предполагаемую авторами структуру зависимостей* — ещё лучше.

* Например, сделав текст последовательностью идущих друг за другом теорем без всяких пояснений о мотивах, целях и том, как были угаданы (если имеются) магические значения. Конечно, постфактум читатель разберётся, но…

[g______d]

Есть хороший пример "леммы", за которую были даны крупные призы

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_lemma_(Langlands_program)

Как мне кажется, это скорее исключение из правил. Кроме всего прочего, разделение на леммы и теоремы несёт следующую важную информацию: какие именно результаты работы сам автор считает основными.

К классификации можно ещё добавить Предложение (Proposition): утверждение, доказанное в каком-то другом тексте или напрямую из него следующее (возможно, с точностью до обозначений), но не являющееся дословно сформулированной там теоремой. Например, частный случай какой-то ранее известной теоремы. Цель -- чтобы у читателя была перед глазами точная формулировка, и он мог её либо принять на веру, либо проверить, действительно ли она следует из процитированных текстов.