Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций

[Ktina]

Бесконечно малые функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Кто автор этой теоремы и как она доказывается (хотя бы намекните)?

(Согласно определению, две бесконечно малые функции эквивалентны, если предел их отношения равен 1.
Согласно другому определению, величина $\alpha(x)$ называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с $\beta(x)$, если предел отношения $\dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ равен нулю при $x\to a$.

Если всмотреться в эти два определения, то обе части утверждения теоремы ("тогда" и "только тогда"), вроде бы, кажутся очевидными.)

[Otta]

Я не думаю, что у этого чисто технического факта есть конкретный автор, и тем более, что он называется теоремой. Доказывается по определению, примерно в две строки. Можете попробовать сами. Найти определения и попробовать.

[Ktina]

Otta
В справочнике по высшей математике Гусака, Гусак и Бричиковой данный факт именуется именно теоремой (теорема 13.6 на странице 209 издания 2000г.)

[Otta]

Имеют право ) Я этот факт в сформулированном виде вижу первый раз в жизни, никогда ранее он мне не требовался, а если бы потребовался, вряд ли бы пришлось обращаться к справочникам: если за фактами такого рода каждый раз лезть в справочники, то любую мало-мальски нетривиальную теорему из анализа за разумное время доказать не удастся.

Видите ли, предыдущий абзац у меня занял гораздо больше времени, чем заняло бы доказательство "теоремы" на доске.

[Karan]

Ktina в сообщении #1316420 писал(а):

Кто автор этой теоремы и как она доказывается (хотя бы намекните)?

А как Вы пытались ее доказать? Запишите формальные определения обеих частей этого утверждения.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 31.05.2018, 08:59 --

[eugensk]

Ktina в сообщении #1316420 писал(а):

Если всмотреться в эти два определения, то обе части утверждения теоремы ("тогда" и "только тогда"), вроде бы, кажутся очевидными

Тем не менее, надо применить теорему о пределе суммы-разности, или показать явно через эпсилон-дельта. Так вы избавитесь от "вроде бы".

(Оффтоп)

Замечательно, что вы решили поднять курс матана. Подскажите, по какой книге его проходите, мне это тоже надо.

[Ktina]

eugensk в сообщении #1316467 писал(а):

(Оффтоп)

Замечательно, что вы решили поднять курс матана. Подскажите, по какой книге его проходите, мне это тоже надо.

(Оффтоп)

В личку Вам напишу...

-- 31.05.2018, 14:36 --

[Modest]

Отделил оффтопик про леммы и теоремы в «Леммы и теоремы».