2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций
Сообщение31.05.2018, 08:41 
Аватара пользователя
Бесконечно малые функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Кто автор этой теоремы и как она доказывается (хотя бы намекните)?

(Согласно определению, две бесконечно малые функции эквивалентны, если предел их отношения равен 1.
Согласно другому определению, величина $\alpha(x)$ называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с $\beta(x)$, если предел отношения $\dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ равен нулю при $x\to a$.

Если всмотреться в эти два определения, то обе части утверждения теоремы ("тогда" и "только тогда"), вроде бы, кажутся очевидными.)

 
 
 
 Re: Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций
Сообщение31.05.2018, 08:46 
Я не думаю, что у этого чисто технического факта есть конкретный автор, и тем более, что он называется теоремой. Доказывается по определению, примерно в две строки. Можете попробовать сами. Найти определения и попробовать.

 
 
 
 Re: Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций
Сообщение31.05.2018, 08:54 
Аватара пользователя
Otta
В справочнике по высшей математике Гусака, Гусак и Бричиковой данный факт именуется именно теоремой (теорема 13.6 на странице 209 издания 2000г.)

 
 
 
 Re: Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций
Сообщение31.05.2018, 09:01 
Имеют право ) Я этот факт в сформулированном виде вижу первый раз в жизни, никогда ранее он мне не требовался, а если бы потребовался, вряд ли бы пришлось обращаться к справочникам: если за фактами такого рода каждый раз лезть в справочники, то любую мало-мальски нетривиальную теорему из анализа за разумное время доказать не удастся.

Видите ли, предыдущий абзац у меня занял гораздо больше времени, чем заняло бы доказательство "теоремы" на доске.

 
 
 
 Re: Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций
Сообщение31.05.2018, 09:39 
Ktina в сообщении #1316420 писал(а):
Кто автор этой теоремы и как она доказывается (хотя бы намекните)?
А как Вы пытались ее доказать? Запишите формальные определения обеих частей этого утверждения.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение31.05.2018, 09:39 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение31.05.2018, 10:58 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»


-- 31.05.2018, 08:59 --


 
 
 
 Re: Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций
Сообщение31.05.2018, 12:17 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #1316420 писал(а):
Если всмотреться в эти два определения, то обе части утверждения теоремы ("тогда" и "только тогда"), вроде бы, кажутся очевидными

Тем не менее, надо применить теорему о пределе суммы-разности, или показать явно через эпсилон-дельта. Так вы избавитесь от "вроде бы".

(Оффтоп)

Замечательно, что вы решили поднять курс матана. Подскажите, по какой книге его проходите, мне это тоже надо.

 
 
 
 Re: Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций
Сообщение31.05.2018, 14:29 
Аватара пользователя
eugensk в сообщении #1316467 писал(а):

(Оффтоп)

Замечательно, что вы решили поднять курс матана. Подскажите, по какой книге его проходите, мне это тоже надо.

(Оффтоп)

В личку Вам напишу...


-- 31.05.2018, 14:36 --

 
 
 
 Re: Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций
Сообщение01.06.2018, 07:57 
 i  Отделил оффтопик про леммы и теоремы в «Леммы и теоремы».

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group