Прямоугольник на плоскости

[scwec]

На плоскости дан прямоугольник с длинами сторон $r^2, 2r-1$, где $r>1/2$ - рациональное число.
Докажите, что при $r\ne{1}$ на сторонах прямоугольника или их продолжениях найдутся точки,
все расстояния от которых до вершин прямоугольника - рациональные числа.

[scwec]

Добавлю подспорье для доказательства, а именно:
искомые точки обязательно имеются на сторонах (или их продолжениях) с длиной $r^2$, а на других двух сторонах могут быть, а могут не быть
в зависимости от значения $r$.

[Andrey A]

(Оффтоп)

Потерял Вашу задачу $x(x+z)(x+\dfrac{R}{z})=Qv.$ Всё вертится в голове, можно домножить на $z^2$ и получить
$xz(x+z)(xz+R)=Qv.$ Тут $x,z$ симметричны, и кажется к этому уравнению сводилась одна из предыдущих задач (площади треугольников?). Линейно конечно не решить.

[scwec]

Andrey A в сообщении #1319831 писал(а):

Потерял Вашу задачу $x(x+z)(x+\dfrac{R}{z})=Qv.$ Всё вертится в голове, можно домножить на $z^2$ и получить
$xz(x+z)(xz+R)=Qv.$ Тут $x,z$ симметричны, и кажется к этому уравнению сводилась одна из предыдущих задач (площади треугольников?

Фактически, способ решения этого уравнения мною в упомянутой Вами теме был изложен и я задачу удалил, чтобы не было повтора.

[scwec]

Пусть в декартовых координатах $x,y$ на плоскости вершины прямоугольника имеют координаты
$(0,0), (r^2,0), (r^2,2r-1), (0,2r-1)$.
Тогда от точек с координатами
$\left(\dfrac{r(3r-2)}{2(r-1)},0\right), \left(\dfrac{r(2r^2-5r+2)}{2(r-1)},0\right), \left(\dfrac{r(3r-2)}{2(r-1)},2r-1\right), \left(\dfrac{r(2r^2-5r+2)}{2(r-1)},2r-1\right)$
расстояния до всех четырех вершин прямоугольника - рациональные числа. Отсюда следует утверждение задачи.