2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Прямоугольник на плоскости
Сообщение29.05.2018, 16:49 
Заслуженный участник


17/09/10
1819
На плоскости дан прямоугольник с длинами сторон $r^2, 2r-1$, где $r>1/2$ - рациональное число.
Докажите, что при $r\ne{1}$ на сторонах прямоугольника или их продолжениях найдутся точки,
все расстояния от которых до вершин прямоугольника - рациональные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольник на плоскости
Сообщение31.05.2018, 17:41 
Заслуженный участник


17/09/10
1819
Добавлю подспорье для доказательства, а именно:
искомые точки обязательно имеются на сторонах (или их продолжениях) с длиной $r^2$, а на других двух сторонах могут быть, а могут не быть
в зависимости от значения $r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольник на плоскости
Сообщение14.06.2018, 12:45 


21/11/12
767
Санкт-Петербург

(Оффтоп)

Потерял Вашу задачу $x(x+z)(x+\dfrac{R}{z})=Qv.$ Всё вертится в голове, можно домножить на $z^2$ и получить
$xz(x+z)(xz+R)=Qv.$ Тут $x,z$ симметричны, и кажется к этому уравнению сводилась одна из предыдущих задач (площади треугольников?). Линейно конечно не решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольник на плоскости
Сообщение14.06.2018, 16:54 
Заслуженный участник


17/09/10
1819
Andrey A в сообщении #1319831 писал(а):
Потерял Вашу задачу $x(x+z)(x+\dfrac{R}{z})=Qv.$ Всё вертится в голове, можно домножить на $z^2$ и получить
$xz(x+z)(xz+R)=Qv.$ Тут $x,z$ симметричны, и кажется к этому уравнению сводилась одна из предыдущих задач (площади треугольников?

Фактически, способ решения этого уравнения мною в упомянутой Вами теме был изложен и я задачу удалил, чтобы не было повтора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прямоугольник на плоскости
Сообщение19.06.2018, 22:10 
Заслуженный участник


17/09/10
1819
Пусть в декартовых координатах $x,y$ на плоскости вершины прямоугольника имеют координаты
$(0,0), (r^2,0), (r^2,2r-1), (0,2r-1)$.
Тогда от точек с координатами
$\left(\dfrac{r(3r-2)}{2(r-1)},0\right), \left(\dfrac{r(2r^2-5r+2)}{2(r-1)},0\right), \left(\dfrac{r(3r-2)}{2(r-1)},2r-1\right), \left(\dfrac{r(2r^2-5r+2)}{2(r-1)},2r-1\right)$
расстояния до всех четырех вершин прямоугольника - рациональные числа. Отсюда следует утверждение задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: EUgeneUS


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group