Литература для лучшего понимания матаппарата ОТО

[Astroid]

При изучении ОТО, я столкнулся с выражением, ход вычисления которого мне непонятен. Речь идет о вариации квадрата интервала

$$\delta ds^2 = 2ds\delta ds = \delta\left( g_{ik}dx^idx^k\right) = dx^idx^k\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\delta x^l + 2g_{ik}dx^id\delta x^k$$

(см., например, ЛЛ-2 "Теория поля", задача на стр. 316). Происхождение первого слагаемого я худо-бедно осознал: мы находим "дифференциал" $g_{ik}$, а вот откуда берется второе не понимаю. Что вообще значит $d\delta x^k$? Ясно также, что используется правило дифференцирования произведения, то есть

$$\delta\left( g_{ik}dx^idx^k\right) = dx^idx^k\delta g_{ik} + g_{ik}\delta\left(dx^idx^k\right),$$

но это ситуацию не сильно проясняет.
Отмечу, что учусь по профилю, не связанному с теорфизикой, (хотя такой курс мы проходили) поэтому с тензорами я "на Вы". Быть может, кто-нибудь может посоветовать книжку, в которой более подробно рассматриваются подобного вида выражения и их получение? Можно как с математической, так и с физической точки зрения, мне просто хотелось бы разобраться с матаппаратом конкретно ОТО.

[Munin]

Для конкретно ОТО я бы рекомендовал:

Вайнберг. Гравитация и космология. (Очень просто и "на пальцах".)
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. (Очень подробно и геометрически-образно, координатный и бескоординатный формализмы, что для начинающего немного избыточно, но потом пригождается.)

И очень осторожно относиться к математическим книгам и советам таких книг, потому что в математических книгах фокус часто не на том, что нужно для физики.
Ещё добавлю, на уровне знакомства с касательными пространствами и расслоениями,

Иваненко, Сарданашвили. Гравитация.

-- 31.05.2018 11:17:16 --

Astroid в сообщении #1316443 писал(а):

(см., например, ЛЛ-2 "Теория поля", задача на стр. 316)

Для книг со многими переизданиями лучше ссылаться не на страницу, а на параграф. Вы пишете про задачу после § 87, в одном издании (7-е, 1988, "старая вёрстка") - это страница 320, а в другом (8-е, 2003, "новая вёрстка") - страница 334. Эти два издания наиболее доступны в сети.

[Munin]

Astroid в сообщении #1316443 писал(а):

При изучении ОТО, я столкнулся с выражением, ход вычисления которого мне непонятен. Речь идет о вариации квадрата интервала

$$\delta ds^2 = 2ds\delta ds = \delta\left( g_{ik}dx^idx^k\right) = dx^idx^k\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\delta x^l + 2g_{ik}dx^id\delta x^k$$

(см., например, ЛЛ-2 "Теория поля", задача на стр. 316). Происхождение первого слагаемого я худо-бедно осознал: мы находим "дифференциал" $g_{ik}$, а вот откуда берется второе не понимаю. Что вообще значит $d\delta x^k$?

Здесь можно представить себе ситуацию таким образом:

1. На искривлённом пространстве-времени (псевдориманово многообразие $M$) нанесена координатная сетка, то есть задана функция $\mathbb{R}^4\supseteq D\to M,$ инъективная в какой-то области $D.$ Таким образом, можно считать, что на пространстве-времени (в другой области, в образе $D$) заданы функции $x^i$ (в ЛЛ-2 пространственно-временные индексы обозначаются латинскими буквами, но сегодня общеприняты греческие, так что я чуть было не написал $x^\mu$). Метрический тензор получает конкретные числовые компоненты в каждой точке только после задания этой координатной сетки - а до этого он существует "в абстрактном виде".

2. На том же пространстве-времени проведена линия - траектория частицы, которую мы и будем варьировать. (Метрический тензор как функцию мы не варьируем.) Линию можно представлять себе как параметризованное множество точек, то есть задана функция $p\colon[0,1]\to M$ (можно было бы взять и какой-то другой отрезок действительных чисел). Когда говорят о линиях, то часто стараются выбирать параметр так, чтобы он был равен длине куска линии (натуральный параметр), или времени движения какой-то частицы по линии, но сейчас эти упрощения будут нас отвлекать. Пусть это просто какой-то параметр $p.$ Тогда можно говорить о функциях $x^i(p).$ И вообще, формула (87.1) приобретает более конкретный вид:

$$\delta S=0,\qquad S=-mc\int\limits_0^1 ds(p)=-mc\int\limits_0^1 \sqrt{g_{ik}(x^i)\dfrac{dx^i}{dp}\dfrac{dx^k}{dp}}\,dp.$$

Теперь можно проделать выкладки, понимая везде $x^i$ как $x^i(p),$ а $dx^i$ - как $\dfrac{dx^i(p)}{dp}dp.$ Соответственно, $\delta dx^i$ - это вариации производных, а $d\delta x^i$ - производные вариаций (все помноженные на $dp$). И именно $x^i(p)$ вообще и варьируются, в конечном счёте.

[Gickle]

Здесь, по всей видимости, рассматривается какой-нибудь локальный диффеоморфизм $x^{\mu} \rightarrow x^{\mu} + \delta x^{\mu}.$ Ну и тогда всё просто становится, так что оставлю получение финального ответа вам.

Astroid в сообщении #1316443 писал(а):

Что вообще значит $d\delta x^k$?

Здесь $\delta x^{\mu}$ надо понимать как некоторую функцию.

Сам я в ОТО ничего не понимаю, но всё-таки посоветую пару книг, к которым сам часто обращался во время изучения курса, тем паче что они тут особо не упоминались вроде:

1. M.P. Hobson, G.P. Efstathiou, A.N. Lasenby. General Realtivity: And Introduction for Physicists.
Очень подробно, введение начинается с самых азов, основные темы, как понимаю, разобраны. Ну и электронная версия просто эстетически приятна и удобна в использовании.

2. S. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity.
Тут вот уже обсуждение чуть более математизировано, некоторые вещи не так сильно разжёвываются. К слову, бонусом тут есть не совсем, насколько я знаю, типичная для книг по ОТО глава, посвящённая КТП в искривлённом пространстве-времени. Чтобы более-менее въехать, кто такие эффект Унру и излучение Хокинга и с чем их едят, вроде хватает. Если хочется чего-то большего, то надо уже читать специальную литературу по теме.

Книги, которые мне чуть менее/не особо нравятся:

3. B. Schutz. A First Course in General Relativity.
Какой-то уж совсем кратенький курс, да и пишут уж как для совсем детей. Но некоторые темы можно поглядеть и там, пожалуй.

4. A. Zee. Einstein Gravity in a Nutshell.
Вот уж насколько я люблю остальные книги Зи, но его учебник по ОТО мне не очень понравился. Не могу внятно объяснить, чем именно, правда. Может, кому-то больше "зайдёт".

[Walker_XXI]

Astroid в сообщении #1316443 писал(а):

Речь идет о вариации квадрата интервала

Вообще говоря, вызвавший затруднение вопрос не является спецификой матаппарата ОТО. Это довольно общее место из раздела, называемого Вариационное исчисление. Ключевые слова: вариация, вариационная производная. Из учебников, которые в своё время рекомендовали нам:
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
2. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление (что интересно: в оригинале книга вышла в 1961 и, насколько мне известно, не переиздавалась, а вот на английском была издана дважды - в 1963 и в 2000).

[Astroid]

Walker_XXI в сообщении #1316491 писал(а):

Вообще говоря, вызвавший затруднение вопрос не является спецификой матаппарата ОТО.

Да, я знаю, что задача неспецифична для ОТО. Она специфична в первую очередь для механики, ибо принцип наименьшего действия впервые вводится там. Однако, в том случае мне ситуация видится более простой, так как варьируем мы вполне понятные (для меня) величины. Здесь загвоздка у меня как раз в том, как обращаться с тензорными величинами.

Munin в сообщении #1316453 писал(а):

Для конкретно ОТО я бы рекомендовал:

Вайнберг. Гравитация и космология. (Очень просто и "на пальцах".)
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация. (Очень подробно и геометрически-образно, координатный и бескоординатный формализмы, что для начинающего немного избыточно, но потом пригождается.)

Да, как раз Мизнера, Торна и Уилера я и читаю. Они, правда, тоже на таких тривиальных вопросах не задерживаются.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1316453 писал(а):

-- 31.05.2018 11:17:16 --

Для книг со многими переизданиями лучше ссылаться не на страницу, а на параграф. Вы пишете про задачу после § 87, в одном издании (7-е, 1988, "старая вёрстка") - это страница 320, а в другом (8-е, 2003, "новая вёрстка") - страница 334. Эти два издания наиболее доступны в сети.

Спасибо, буду иметь ввиду.

Gickle в сообщении #1316473 писал(а):

Сам я в ОТО ничего не понимаю, но всё-таки посоветую пару книг, к которым сам часто обращался во время изучения курса, тем паче что они тут особо не упоминались вроде:

1. M.P. Hobson, G.P. Efstathiou, A.N. Lasenby. General Realtivity: And Introduction for Physicists.
Очень подробно, введение начинается с самых азов, основные темы, как понимаю, разобраны. Ну и электронная версия просто эстетически приятна и удобна в использовании.

2. S. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity.
Тут вот уже обсуждение чуть более математизировано, некоторые вещи не так сильно разжёвываются. К слову, бонусом тут есть не совсем, насколько я знаю, типичная для книг по ОТО глава, посвящённая КТП в искривлённом пространстве-времени. Чтобы более-менее въехать, кто такие эффект Унру и излучение Хокинга и с чем их едят, вроде хватает. Если хочется чего-то большего, то надо уже читать специальную литературу по теме.

Спасибо, обязательно ознакомлюсь.

Munin в сообщении #1316468 писал(а):

$$\delta S=0,\qquad S=-mc\int\limits_0^1 ds(p)=-mc\int\limits_0^1 \sqrt{g_{ik}(x^i)\dfrac{dx^i}{dp}\dfrac{dx^k}{dp}}\,dp.$$

Теперь можно проделать выкладки, понимая везде $x^i$ как $x^i(p),$ а $dx^i$ - как $\dfrac{dx^i(p)}{dp}dp.$ Соответственно, $\delta dx^i$ - это вариации производных, а $d\delta x^i$ - производные вариаций (все помноженные на $dp$). И именно $x^i(p)$ вообще и варьируются, в конечном счёте.

Стало чуточку понятнее, но в тензорах я все еще "плаваю". Правильно ли я понимаю, что вы варьируете действие, которое, в свою очередь, выражается через интеграл от бесконечно малого интервала между двумя событиями с параметрами 0 и 1? Таким образом, кривая, вдоль которой действие минимально, будет являться (пользуясь терминологией Мизнера, Торна, Уилера) опорной геодезической данного пространства?

[Munin]

Просто геодезической. Я не знаю, что такое "опорной".

Вообще, с вариациями и тензорами рекомендуется обращаться "как повар с картошкой". По крайней мере, пока вы повторяете выкладки за Вайнбергом и ЛЛ-2. Если будет подводный камень - они предупредят. А по ходу, вы и смелости и технике научитесь.

[Astroid]

Munin в сообщении #1316613 писал(а):

Просто геодезической. Я не знаю, что такое "опорной".

Опорной в этой книге авторы называют такую геодезическую, в которую векторы «сил», начатые из других мировых линий, входят в эту геодезическую перпендикулярно. Перпендикулярность, надо полагать, имеется ввиду не локально евклидова, а локально лоренцева. Также из интуитивных соображений, эта опорная геодезическая особенна в том смысле, что на тела, движущиеся вдоль нее, не действуют никакие силы в их системе отсчета, поэтому в ОТО ее нужно признать траекторией движения частицы в искревленном пространстве-времени.
Если кто-то поправит в терминологии указанных выше авторов, буду благодарен, т.к. не претендую на абсолютно верное понимание.

[Munin]

Ерунда какая-то: если силы перпендикулярны, то они как раз действуют.

Но в данной задаче никаких внешних сил вообще нет. Потому что если бы были, то они бы включались в действие: $S=-mc\int ds+\ldots$

----------------

Мне кажется, при всём уважении к Мизнеру-Торну-Уилеру, их книжку не стоит читать одновременно с ЛЛ-2. Или до, или после. Иначе грозит мешанина. Там разные подходы и разные терминологии.

Вайнберг в этом смысле совместим с ЛЛ-2.