2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рекуррентная последовательность
Сообщение29.05.2018, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13241
с Территории
(Вот придумалось. Идея нехитрая, так что не удивлюсь, если это уже было.)
Последовательность задана таким образом: $x_{n+1} = x_{n-1}-\dfrac1{x_n}$, а первые два члена пусть будут, ну, скажем, 42 и 48. Будет ли она тянуться без конца или же упрётся в 0 (после которого мы, очевидно, продолжать не сможем), и если так, то когда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность
Сообщение29.05.2018, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3184
Ага, забавно.

(Оффтоп)

Произведение двух соседних членов убывает на единичку.
Поэтому упрёмся в нуль на номере $42\cdot 48+2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность
Сообщение29.05.2018, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2551
Уфа
Круто!
А я успел только рассмотреть аналогичный дифур, по которому получается, что таки упрётся через порядка $x_0^2$ шагов (если $x_0$ и $x_1$ примерно одинаковы).
С точностью до коэффициента угадал :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность
Сообщение30.05.2018, 00:24 
Аватара пользователя


07/01/16
774
Аязьма
Рассмотрим $y_n=x_nx_{n+1}$, оно на каждом шаге уменьшается на единичку и неизбежно упрется в ноль через $x_1x_2$ шагов

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность
Сообщение30.05.2018, 07:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13241
с Территории
Ну, всё так. А то человек посмотрит на сами $x_n$, а они ох какие страшные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность
Сообщение30.05.2018, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4742
Нов-ск
ИСН в сообщении #1316104 писал(а):
первые два члена пусть будут, ну, скажем, 42 и 48. Будет ли она тянуться без конца или же упрётся в 0

Предлагаю уточнить ответ:

Если первые два члена пусть будут, ну, скажем, 42 и 48, то последовательность, ну, скажем, упрется в 0.
Если первые два члена 42 и 48, то последовательность упрется в 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность
Сообщение30.05.2018, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13531
А если взять такое начало: $42,48.6,...$ :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентная последовательность
Сообщение31.05.2018, 12:57 
Аватара пользователя


17/04/11
391
gris в сообщении #1316198 писал(а):
А если взять такое начало: $42,48.6,...$ :?:

Тогда получается вот что:
Код:
1.2346096318744775, 0.9719671457449575, 0.20576827198102454, -3.887868582924706, 0.46297861195803464, -6.047795573441153, 0.6283281162288953, -7.6393207243476695, 0.759229807109977, -8.956444987166748, 0.8708812493320697, -10.104707165008973, 0.9698450276652849, -11.13579973286727, 1.0596454931898671, -12.079511574635864

На логарифм мало похоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group