Рекуррентная последовательность

[ИСН]

(Вот придумалось. Идея нехитрая, так что не удивлюсь, если это уже было.)
Последовательность задана таким образом: $x_{n+1} = x_{n-1}-\dfrac1{x_n}$, а первые два члена пусть будут, ну, скажем, 42 и 48. Будет ли она тянуться без конца или же упрётся в 0 (после которого мы, очевидно, продолжать не сможем), и если так, то когда?

[Mikhail_K]

Ага, забавно.

(Оффтоп)

Произведение двух соседних членов убывает на единичку.
Поэтому упрёмся в нуль на номере $42\cdot 48+2$.

[worm2]

Круто!
А я успел только рассмотреть аналогичный дифур, по которому получается, что таки упрётся через порядка $x_0^2$ шагов (если $x_0$ и $x_1$ примерно одинаковы).
С точностью до коэффициента угадал

[waxtep]

Рассмотрим $y_n=x_nx_{n+1}$, оно на каждом шаге уменьшается на единичку и неизбежно упрется в ноль через $x_1x_2$ шагов

[ИСН]

Ну, всё так. А то человек посмотрит на сами $x_n$, а они ох какие страшные.

[TOTAL]

ИСН в сообщении #1316104 писал(а):

первые два члена пусть будут, ну, скажем, 42 и 48. Будет ли она тянуться без конца или же упрётся в 0

Предлагаю уточнить ответ:

Если первые два члена пусть будут, ну, скажем, 42 и 48, то последовательность, ну, скажем, упрется в 0.
Если первые два члена 42 и 48, то последовательность упрется в 0.

[gris]

А если взять такое начало: $42,48.6,...$

[beroal]

gris в сообщении #1316198 писал(а):

А если взять такое начало: $42,48.6,...$

Тогда получается вот что:

1.2346096318744775, 0.9719671457449575, 0.20576827198102454, -3.887868582924706, 0.46297861195803464, -6.047795573441153, 0.6283281162288953, -7.6393207243476695, 0.759229807109977, -8.956444987166748, 0.8708812493320697, -10.104707165008973, 0.9698450276652849, -11.13579973286727, 1.0596454931898671, -12.079511574635864

На логарифм мало похоже.