Задача о столкновении шайбы и клина

[pavelp84]

Шайба движется по горизонтальной поверхности со скоростью $V$. Затем налетает на клин с углом $\alpha$, скользит по нему и слетает с него. Клин приобретает скорость $V/4$. Клин и шайба имеют равные массы $M$. При этом в основании клин имеет плавный выкат. Трение на всех поверхностях отсутствует. Потенциальной энергией шайбы можно пренебречь. Необходимо определить угол клина.

правильный ответ - $\arccos { \sqrt {\frac 2 5} } $
--------------------------------------------------
Соответственно из закона сохранения энергии легко находится скорость шайбы после вылета. Что дальше делать не понятно. Закон сохранения импульса в общем виде применять здесь нельзя. Пытался баловаться с силой реакции опоры при скольжении - ничего особо не вышло.

Подскажите пожалуйста. Очень надо решить. Заранее благодарю.

[Cervix]

pavelp84 писал(а):

Шайба движется по горизонтальной поверхности со скоростью V. Затем налетает на клин с углом A, скользит по нему и слетает снего. Клин прибретает скорость v/4. При этом в основании клин имеет плавный выкат. Трение на всех поверхностях отсутствует. Потенциальной энергией шайбы можно пренебречь. Необходимо определить угол клина.

--------------------------------------------------

Соответственно из закона сохранения энергии легко находится скорость шайбы после вылета. Что дальше делать не понятно. Закон сохранения импулься в общем виде применять здесь нельзя. Пытался баловаться с силой реакции опоры при скольжении - ничего особо не вышло.

Продемонстрируйте, как это легко находится скорость шайбы после вылета. А по существу - у вас очень неточное условие:
1) как связаны скорости v и V.
2) вероятно, в исходной задаче заданы какие-нибудь массы.
и т.д. и т.п.

[pavelp84]

Cervix писал(а):

Продемонстрируйте, как это легко находится скорость шайбы после вылета. А по существу - у вас очень неточное условие:
1) как связаны скорости v и V.
2) вероятно, в исходной задаче заданы какие-нибудь массы.
и т.д. и т.п.

Извиняюсь конечно. Мозг совсем вскипел - вот и забыл про массы. Они одинаковые у шайбы и клина. $v$ и $V$ - одна и та же скорость шайбы до столкновения. Скорость Клина в итоге в 4 меньше начальной скорости шайбы. Все остальные условия в точности как в источнике. Скорость шайбы после вылета находится из закона сохр энергии:

$\frac {mv^2} 2 = \frac{mu^2} 2 + \frac{m(v/4)^2} 2$

m сокращается - получаем скорость шайбы после вылета - $u = \frac {v \sqrt{15}} 4$

Что дальше - не знаю. Банальное применение закона сохр импульса для горизонтальных проекций дает неверный ответ. Что в принципе и понятно.

[photon]

photon:

pavelp84, используйте тег math для записи формул

[Cervix]

pavelp84 писал(а):

Скорость шайбы после вылета находится из закона сохр энергии:

(m*v^2)/2 = (m*u^2)/2 + (m*(v/4)^2)/2

m сокращается - получаем скорость шайбы после вылета - u = (v*15^(-2)/)4

Что дальше - не знаю. Банальное применение закона сохр импульса для горизонтальных проекций дает неверный ответ. Что в принципе и понятно.

Система-то не замкнутая, ЗСЭ в такой форме ошибочен.
Схема решения:
1) из ЗСИ в проекции на горизональную ось находите скорость шайбы после столкновения.
2) из ЗСЭ находите вертикальную проекцию скорости шайбы после столкновения.
3) требуете, чтобы в системе отсчета клина шайба двигалась вдоль клина.

[pavelp84]

photon писал(а):

...

Извиняюсь. Я новичек здесь. Вроде все исправил.

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

Cervix писал(а):

Система-то не замкнутая, ЗСЭ в такой форме ошибочен.
Схема решения:
1) из ЗСИ в проекции на горизональную ось находите скорость шайбы после столкновения.
2) из ЗСЭ находите вертикальную проекцию скорости шайбы после столкновения.
3) требуете, чтобы в системе отсчета клина шайба двигалась вдоль клина.

Спасибо. Ход ваших мыслей примерно понял. Хотя пока и не до конца. Завтра попробую так.
Огромное спасибо за отклик.

[Munin]

Cervix
У меня для скорости после подъёма по выкату, но внизу клина ($y\approx 0$) получается такое выражение:

$$\dot{x}_0=\frac{v}{2}\biggl(1\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1+\sin^2\alpha}}\biggr).$$

И какой из двух корней выбирать? :-)

[Антипка]

Cervix
Все проще. В качестве неизвестной скорости лучше сразу выбрать скорость шайбы относительно клина в момент слёта с него ($v'$). Пусть скорость клина после взаимодействия с шайбой равна $u'$ (по условию $u'=v/4$), а массы шайбы и клина - соответственно $m$ и $M$. Тогда законы сохранения импульса и энергии можно записать следующим образом:

\[mv = m(v'\cos \alpha +u') + Mu'\]

\[ \frac{m} {2}v^2 = \frac{m} {2}((v'\cos \alpha + u')^2 + (v'\sin \alpha )^2 ) + \frac{M} {2}u'^2 \]

Из первого уравнения выражаем $v'$ (будет зависеть от угла клина \alpha) и подставляем во второе. Получим простое уравнение относительно косинуса либо тангенса угла \alpha - в зависимости от выбранного способа тождественных преобразований.

[Cervix]

Munin писал(а):

И какой из двух корней выбирать?

Вообще говоря положительный, но я так делать не предлагал. По мой схеме вы бы на первом шаге получили $\dot x=v-v/4$

Антипка писал(а):

Cervix
Все проще. В качестве неизвестной скорости лучше сразу выбрать скорость шайбы относительно клина в момент слёта с него (v').

А в чем оно проще? Решение по сути то же самое. И ответ такой же, правда с "нужным" ответом не совпадает

[pavelp84]

Cervix писал(а):

Система-то не замкнутая, ЗСЭ в такой форме ошибочен.

А собственно почему не замкнутая? Ведь никакого обмена энергией с внешней средой нет - т.к. трения нет. По идее вся энергия должна распределяться между объектами...

[Cervix]

pavelp84 писал(а):

А собственно почему не замкнутая? Ведь никакого обмена энергией с внешней средой нет - т.к. трения нет. По идее вся энергия должна распределяться между объектами...

Чтобы набрать вертикальную компоненту скорости по сути надо отталкиваться от земли. Так же надо как-то погасить эту вертикальную компоненту об землю после преодоления клина, в задаче об этом ничего не сказано, но надо полагать, что шайба не прыгает.

[pavelp84]

А вообще я не могу понять до конца 1 момент:

Силовое взаимодействие происходит только в момент движения по пологому выкату с неким радиусом закругления - или оно происходит во время скольжения по всей поверхности, а движением в области закругления вообще можно пренебречь. При этом на всем пути взаимодействия и шайба и клин дбудут двигаться с ускорением?

Из утверждения Cervix похоже следует 1 вариант.

[Cervix]

pavelp84 писал(а):

Потенциальной энергией шайбы можно пренебречь.

Это упрощение позволяет думать, что

pavelp84 писал(а):

Силовое взаимодействие происходит только в момент движения по пологому выкату с неким радиусом закругления

[pavelp84]

Cervix писал(а):

Система-то не замкнутая, ЗСЭ в такой форме ошибочен.
Схема решения:
1) из ЗСИ в проекции на горизональную ось находите скорость шайбы после столкновения.
2) из ЗСЭ находите вертикальную проекцию скорости шайбы после столкновения.
3) требуете, чтобы в системе отсчета клина шайба двигалась вдоль клина.

А собственно в какой форме тогда закон сохранения не ошибочен? что вы подразумеваете под 2 пунктом? Если его применять в моей форме, но после расчета горизонтальной составляющей скорости шайбы после удара через ЗСИ согласно пункту 1 - то поучается такой же неверный ответ как и в моем случае - $ \arccos {\sqrt {\frac 3 5}} $ - только немного иным методом. А должно быть - $ \arccos {\sqrt {\frac 2 5}} $

Добавлено спустя 7 минут 22 секунды:

Munin писал(а):

Cervix
У меня для скорости после подъёма по выкату, но внизу клина ($y\approx 0$) получается такое выражение:

$$\dot{x}_0=\frac{v}{2}\biggl(1\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1+\sin^2\alpha}}\biggr).$$

И какой из двух корней выбирать?

Вообще явно видно что оба корня явно пложительны. А двух вариантов в этой задаче быть не может. Гдето видимо ошибка. А собственно как вы пришли к такому?

[Cervix]

pavelp84 писал(а):

А собственно в какой форме тогда закон сохранения не ошибочен?

Антипка уже написал вам почти все решение
Раньше вы предлагали другой ответ. Но там действительно получается $\arccos{\sqrt{2/5}}$.