2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перестановки произвольного ряда
Сообщение26.05.2018, 15:32 
Аватара пользователя


07/01/15
999
Якутск
Пусть есть ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$ общий член которого стремится к нулю $a_n \to 0.$ Доказать, что выполняется в точности одно из условий:
1. Ряд сходится абсолютно и все его перестановки имеют одну и ту же сумму.
2. Все перестановки ряда расходятся к $\infty.$
3. Все перестановки ряда расходятся к $-\infty.$
4. Для любого действительного числа $s$ существует перестановка ряда, сумма которой равна $s.$ Существуют также перестановки, расходящиеся к бесконечностям различных знаков, а также перестановки, не сходящиеся ни к какому числу и не расходящиеся ни к какой бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки произвольного ряда
Сообщение26.05.2018, 15:48 
Заслуженный участник


18/01/15
1172
Это известная теорема Римана. Я бы не сказал, что это олимпиадная задача. Правильнее, что это нетривиальное упражнение по матану. Никаких особых выкрутасов в доказательстве нет, и доказать, подумавши, вполне можно самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки произвольного ряда
Сообщение26.05.2018, 15:56 
Аватара пользователя


07/01/15
999
Якутск
vpb в сообщении #1315114 писал(а):
Это известная теорема Римана.

Возможно, я ошибаюсь, но теорема Римана $-$ утверждение сугубо об условно сходящихся рядах, и в этом контексте он покрывает только случай 4.

P. S. Конечно, других нетривиальных идей, кроме тех, которые есть в теореме Римана, в этой задаче особо-то и нет. Но она интересна в том смысле, что "пятого не дано".

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки произвольного ряда
Сообщение29.05.2018, 13:34 
Заслуженный участник


11/05/08
31624
SomePupil в сообщении #1315115 писал(а):
теорема Римана $-$ утверждение сугубо об условно сходящихся рядах, и в этом контексте он покрывает только случай 4.

Это правда, но дело том, что теореме Римана должен предшествовать Ваш п.1 в качестве отдельной теоремы. Которая, в свою очередь, опирается на предварительную теорему: сумма знакоопределённого ряда (конечная или бесконечная) не зависит от перестановок. И если все эти стандартные факты известны, то, перебирая четыре варианта для сумм положительных и отрицательных членов (обе конечны, обе бесконечны или одна конечна, другая бесконечна), мы автоматически выходим на первые три пункта. И остаётся только усилить теорему Римана до п.4, но это усиление сводится к одной фразе: "доказательство в точности такое же, как там".

В общем, олимпиадно действительно не выглядит. Лучше было бы сформулировать более провокационно -- примерно так: "Если общий член ряда стремится к нулю, то или сумма ряда не зависит от перестановок, или за счёт перестановок можно получить вообще всё что угодно".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group