Перестановки произвольного ряда

[SomePupil]

Пусть есть ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$ общий член которого стремится к нулю $a_n \to 0.$ Доказать, что выполняется в точности одно из условий:
1. Ряд сходится абсолютно и все его перестановки имеют одну и ту же сумму.
2. Все перестановки ряда расходятся к $\infty.$
3. Все перестановки ряда расходятся к $-\infty.$
4. Для любого действительного числа $s$ существует перестановка ряда, сумма которой равна $s.$ Существуют также перестановки, расходящиеся к бесконечностям различных знаков, а также перестановки, не сходящиеся ни к какому числу и не расходящиеся ни к какой бесконечности.

[vpb]

Это известная теорема Римана. Я бы не сказал, что это олимпиадная задача. Правильнее, что это нетривиальное упражнение по матану. Никаких особых выкрутасов в доказательстве нет, и доказать, подумавши, вполне можно самостоятельно.

[SomePupil]

vpb в сообщении #1315114 писал(а):

Это известная теорема Римана.

Возможно, я ошибаюсь, но теорема Римана $-$ утверждение сугубо об условно сходящихся рядах, и в этом контексте он покрывает только случай 4.

P. S. Конечно, других нетривиальных идей, кроме тех, которые есть в теореме Римана, в этой задаче особо-то и нет. Но она интересна в том смысле, что "пятого не дано".

[ewert]

SomePupil в сообщении #1315115 писал(а):

теорема Римана $-$ утверждение сугубо об условно сходящихся рядах, и в этом контексте он покрывает только случай 4.

Это правда, но дело том, что теореме Римана должен предшествовать Ваш п.1 в качестве отдельной теоремы. Которая, в свою очередь, опирается на предварительную теорему: сумма знакоопределённого ряда (конечная или бесконечная) не зависит от перестановок. И если все эти стандартные факты известны, то, перебирая четыре варианта для сумм положительных и отрицательных членов (обе конечны, обе бесконечны или одна конечна, другая бесконечна), мы автоматически выходим на первые три пункта. И остаётся только усилить теорему Римана до п.4, но это усиление сводится к одной фразе: "доказательство в точности такое же, как там".

В общем, олимпиадно действительно не выглядит. Лучше было бы сформулировать более провокационно -- примерно так: "Если общий член ряда стремится к нулю, то или сумма ряда не зависит от перестановок, или за счёт перестановок можно получить вообще всё что угодно".