Селективные суммы гармонического ряда

[SomePupil]

Пусть есть ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n.$ Селективной суммой этого ряда назовем число $s = \sum_{n\in A}a_n,$ где $A -$ непустое множество натуральных чисел. Тут $A$ может быть и бесконечным, в этом случае слагаемые в соответствующей сумме будут стоять в том же порядке, что и в исходном ряде.

Доказать, что:
1. Любое положительное число есть селективная сумма гармонического ряда $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n.$
2. Любое положительное рациональное число есть селективная сумма гармонического ряда, состоящая из конечного числа слагаемых.

[worm2]

Первое утверждение неинтересное.
Второе — более интересное. Но только для тех, кто не знаком с египетскими дробями.

[Neoguri]

Часть 2 это классическая задача о египетских дробях.

[SomePupil]

Оказывается, часть 2 уже обсуждалась здесь.
P. S. Там суммы "выборочные." Вот это, я понимаю, слог. А я ничего лучше кальки "selective" не придумал.

-- 27.05.2018, 05:03 --

Сам я подразумевал индуктивное доказательство. Индукция по числителю правильной дроби. База очевидна. Переход тоже нетрудный $-$ берем ближайший к правильной дроби член гармонического ряда и применяем к разности между ними предположение индукции. Ну, а случай произвольной дроби очевидным образом сводится к случаю правильной.