2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Селективные суммы гармонического ряда
Сообщение26.05.2018, 15:44 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
Пусть есть ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n.$ Селективной суммой этого ряда назовем число $s = \sum_{n\in A}a_n,$ где $A -$ непустое множество натуральных чисел. Тут $A$ может быть и бесконечным, в этом случае слагаемые в соответствующей сумме будут стоять в том же порядке, что и в исходном ряде.

Доказать, что:
1. Любое положительное число есть селективная сумма гармонического ряда $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n.$
2. Любое положительное рациональное число есть селективная сумма гармонического ряда, состоящая из конечного числа слагаемых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Селективные суммы гармонического ряда
Сообщение26.05.2018, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Первое утверждение неинтересное.
Второе — более интересное. Но только для тех, кто не знаком с египетскими дробями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Селективные суммы гармонического ряда
Сообщение26.05.2018, 19:50 


24/05/18
15
Часть 2 это классическая задача о египетских дробях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Селективные суммы гармонического ряда
Сообщение27.05.2018, 03:56 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
Оказывается, часть 2 уже обсуждалась здесь.
P. S. Там суммы "выборочные." Вот это, я понимаю, слог. А я ничего лучше кальки "selective" не придумал.

-- 27.05.2018, 05:03 --

Сам я подразумевал индуктивное доказательство. Индукция по числителю правильной дроби. База очевидна. Переход тоже нетрудный $-$ берем ближайший к правильной дроби член гармонического ряда и применяем к разности между ними предположение индукции. Ну, а случай произвольной дроби очевидным образом сводится к случаю правильной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group